3. Вращение и инерция

3.1. Вопрос. Можно ли вращаться «по инерции»? Чем отличается инерция прямолинейного движения от инерции вращения?

Ответ. С первого взгляда вращение даже нагляднее демонстрирует свойства инерции, чем прямолинейное движение. Вращающийся в вакууме на магнитной подвеске маховик может двигаться годами, так как внешние воздействия на него сведены к минимуму [11, 12].

Ньютон, поясняя открытый им закон инерции, дает такое разъяснение [20] : «Волчок, коего части вследствие взаимного сцепления, отвлекают друг друга от прямолинейного движения, не перестает равномерно вращаться, поскольку это вращение не замедляется сопротивлением воздуха». Это фраза Ньютона заставляет серьезно задуматься над поставленным вопросом.

Однако, строго говоря, движение по инерции может быть только равномерным и прямолинейным. Значит, вращения по инерции в принятой нами ньютоновой механике быть не может. Но ведь твердое массивное тело сохраняет состояние покоя или равномерного вращения, пока его не выведет из этого состояния момент внешних сил. Стало быть, фактически и здесь имеет место явление инерции, хотя и отличное от классического случая. Что же общего и в чем различие между инерцией вращения и инерцией при прямолинейном движении?

Инертность массивной точки (тела) зависит только от ее массы. Масса является мерой инертности тела при поступательном, в том числе и прямолинейном, движении. Значит, при таком движении на инерцию не влияет распределение масс в теле, и это тело можно смело принять за материальную (массивную) точку. Масса этой точки равна массе тела, а расположена точка в центре масс или центре инерции тела. Если же вращать вокруг вертикальной оси Z стержень с насаженными на него массивными грузами (рис. 6), то можно заметить, что пока грузы находятся близ центра, раскрутить стержень легко. Но если грузы раздвинуть, то раскрутить стержень станет труднее, хотя масса его не изменилась.

Рис. 6. Схема изменения момента инерции тела.

Стало быть, инертность тела при вращении зависит не только от массы, но в большей степени от распределения этой массы относительно оси вращения. Мерой инертности тела при вращении является осевой момент инерции I, равный сумме произведений масс т всех частиц тела на квадраты их расстояний h от оси вращения:

Осевой момент инерции играет при вращательном движении ту же роль, что и масса при поступательном (прямолинейном), и таким образом, он является мерой инертности (инерции) тела при вращательном движении.

Как мы знаем, закон инерции устанавливает эквивалентность относительного покоя и равномерного прямолинейного движения – движения по инерции. Нельзя никаким механическим опытом определить, покоится ли данное тело или движется равномерно и прямолинейно. Во вращательном движении это не так. Например, совсем не безразлично, покоится ли волчок, или вращается равномерно с постоянной угловой скоростью. Как отмечал А. Ю. Ишлинский [17] , угловая скорость твердого тела является величиной, характеризующей его физическое состояние. Угловую скорость можно измерить, например, с помощью определения упругих деформаций тела, без какой-либо информации о положении тела по отношению к «абсолютной» системе координат. Поэтому термин «абсолютная угловая скорость тела» в отличие от «абсолютной скорости точки» должен употребляться в прямом смысле (без кавычек).

Таким образом, механические явления в покоящейся и вращающейся системах будут протекать по-разному, не говоря уже о том, что если тело достаточно сильно раскрутить, то его разорвет на части из-за возникших в нем напряжений.

Еще одно отличие состоит в том, что прямолинейное равномерное движение и покой эквивалентны, а вращение, даже с постоянной угловой скоростью, может быть четко отграничено не только от покоя, но и от вращения с другой угловой скоростью.

Здесь уместно упомянуть о взглядах австрийского физика Эрнста Маха (1838–1916), оказавшего большое влияние на формирование принципа эквивалентности Эйнштейна. Мах «подбором» соответствующей системы координат стремился придать законам механики такой вид, чтобы они не зависели от вращения. Что получилось бы, если бы ему это удалось? Давайте поместим быстро вращающегося наблюдателя на неподвижный маховик. Тогда можно сказать, что относительно наблюдателя маховик быстро вращается, может, даже быстрее, чем позволяет его прочность. Но маховик не разорвется, хотя наблюдателю кажется, что на него действуют огромные напряжения. А сам вращающийся наблюдатель может пострадать, так как при вращении именно в нем возникают механические напряжения.

3.2. Вопрос. Можно ли сформулировать законы инерции вращения аналогично первому закону Ньютона?

Ответ. Можно взять на себя смелость по образу и подобию первого закона Ньютона сформулировать «закон» инерции вращательного движения: «Изолированное от внешних моментов абсолютно твердое тело будет сохранять состояние покоя или равномерного вращения вокруг неподвижной оси до тех пор, пока приложенные к этому телу внешние моменты не заставят его изменить это состояние».

Почему же абсолютно твердое тело, а не любое? Потому, что у нетвердого тела из-за вынужденных деформаций при вращении изменится момент инерции, а это равносильно изменению массы точки для первого закона Ньютона.

В случае вращательного движения, если момент инерции непостоянен, придется принять за константу не угловую скорость, а произведение угловой скорости ю на момент инерции /– так называемый кинетический момент К. В этом случае «закон» инерции вращения примет более общую форму: «Изолированное от внешних моментов тело будет сохранять вектор своего кинетического момента постоянным». Если же тело вращается вокруг неподвижной оси: «Изолированное от внешних моментов относительно оси вращения тело будет сохранять кинетический момент относительно этой оси постоянным». Эти законы, правда, в несколько иной формулировке, называются законами сохранения кинетического момента.

3.3. Вопрос. Земля и Луна вращаются вокруг общего центра масс. Действуют ли на эти небесные тела центробежные силы?

Ответ. Представление, что при вращении материальных точек и тел вокруг оси или неподвижной точки на них должны действовать центробежные (т. е. направленные от центра вращения) силы, является обывательским заблуждением.

Например, и на Землю, и на Луну действуют силы тяготения, направленные друг к другу, а следовательно, к центру вращения (рис. 7). Каких-либо сил, направленных от центра, здесь вообще нет. Чтобы тела, движущиеся по инерции, т. е. равномерно и прямолинейно, свернули с этого пути и стали двигаться по кривым, на них должны подействовать центростремительные, т. е. направленные к центру вращения, силы. Такими являются силы тяготения.

Рис. 7. Схема сил, действующих на систему «Земля – Луна».

В случае, если вращается точка А, привязанная к опоре О на гибкой невесомой связи – нити (рис. 8, а), то, пренебрегая силой тяжести (допустим, опыт поставлен в невесомости), можно сказать, что на эту точку также действует центростремительная сила Fц. На саму же нить, как на связь, со стороны точки А действует направленная от центра реакция R1 = Fц, а со стороны опоры О – сила R2 = Fц (рис. 8, б). На опору О действует сила Fц, направленная от центра. На нить действует уравновешенная система сил, которая не может влиять на движение точки А.

Рис. 8. Силы, действующие на тела во вращающейся системе: а – силы, действующие на вращающуюся по окружности точку А и опору О; б – силы, действующие на связь.

В некоторых учебниках, например, для школ с углубленным изучением физики [26, с.254] специально выделено, что «центробежные силы инерции действуют не на все тела на поверхности Земли». Такая формулировка означает, что центробежные силы существуют и действуют на некоторые тела. Разумеется, это неверно.

3.4. Вопрос. Почему при быстром вращении тела оно испытывает механические напряжения и может даже разрушиться, ведь никакое другое тело с ним не контактирует, на него не действуют никакие силовые поля и т. д.?

Ответ. Действительно, если опыт по вращению, допустим, металлического кольца поставить в невесомости и в вакууме, то с этим телом не будет взаимодействовать никакое другое тело, даже воздух. Разогнать это кольцо можно вращающимся электромагнитным полем (например, возникающим в статоре асинхронного электродвигателя), особенно если кольцо стальное. После окончания разгона свободно вращающееся с угловой скоростью ? кольцо будет обладать кинетической энергией Е:

и будет растягиваться механическим напряжением ?:

где I – осевой момент инерции кольца;

? – плотность материала кольца;

v – линейная скорость кольца.

Чем же вызвано это напряжение? Выше мы видели, что на связь – нить (см. рис. 8, а, б) действуют растягивающие усилия, вызываемые точкой А, вращающейся вокруг опоры О. Ведь именно связь, действуя на точку А центростремительной силой Fц, постоянно сворачивает ее с естественного прямолинейного пути. В этом случае масса (точка А) и связь (невесомая нить) четко выделены. Но если точку А устранить, вместо нити взять массивное тело – стержень или цепь – и вращать его вокруг точки О, то картина усложнится.

В таких случаях, когда связь сама обладает массой, удобно представить ее в виде невесомой связи (нити), нагруженной отдельными массивными точками (рис. 9).

Рис. 9. Невесомая связь – нить, нагруженная точечными массами.

Если число точек невелико, центростремительные силы, действующие на эти точки, легко определить: в точке 1 это Fц1, B точке 2 – сумма двух сил (Fц1 + Fц2), а в точке 3 она максимальна – сумма трех сил (Fц1 + Fц2 + Fц3). Отсюда легко перейти к случаю, когда масса распределена по длине связи равномерно.

Так и с вращающимся кольцом – если представить, что его заменяет многоугольник из невесомых нитей с помещенными в вершинах углов грузами т (рис. 10, а), то выделив один из грузов (рис. 10, б), можем определить силы Fсв, действующие на груз (их реакции действуют на нить):

где Fц = m?2R или mv2/R, что следует из формулы (2.4).

Распределив грузы т по нити равномерно, получим массивное кольцо плотностью ?, обладающее прочностью связи (рис. 11). Для простоты вычислений отбросим нижнюю половину кольца и обозначим через F растягивающие усилия, действующие с его стороны на верхнее полукольцо. Учитывая, что центр масс верхнего полукольца С расположен на расстоянии 2R/? вверх от центра О, нормальное ускорение этого центра масс:

Записываем второй закон Ньютона в проекции на направление нормального ускорения:

Учитывая, что напряжения ? = F/S, где S – площадь сечения кольца, масса полукольца М = ??RS, и что линейная скорость v = ?R, записываем с учетом (3.6):

Таким образом, получаем формулу (3.3).

Следовательно, вращающееся кольцо будет растягиваться с силой F и напряжениями ? даже без контакта с каким-нибудь другим телом. Аналогичным образом возникают напряжения во вращающихся телах любой конфигурации, например, в движущихся гибких массивных замкнутых связях – ремнях, цепях, а также маховиках – накопителях кинетической энергии.

Рис. 10. Схематичное представление вращающегося кольца: а – замкнутый вращающийся многоугольник с помещенными в вершинах углов точечными массами; б – силы, действующие на отдельный груз.

Рис. 11. Схема для определения напряжений во вращающемся кольце.

3.5. Вопрос. Как накопить во вращающемся маховике наибольшую кинетическую энергию?

Ответ. Кинетическая энергия вращающегося тонкого кольца массой т, как и для прямолинейно движущейся массы, пропорциональна квадрату его линейной (окружной) скорости:

Ведь и в том и в другом случаях масса т движется с одной и той же скоростью v. Разница лишь в том, что в случае прямолинейного движения в движущемся теле не возникает никаких напряжений, а при вращении кольца (как и ремня, цепи, любой плоской массивной замкнутой связи), в нем возникают напряжения, не зависящие от радиуса кольца и определяемые формулой (3.3). Следовательно, в прямолинейно движущейся массе можно беспредельно (в рамках классической механики) повышать скорость и кинетическую энергию. Во вращающейся же массе, в данном случае кольце, мы жестко лимитированы прочностью материала, причем и кинетическая энергия и напряжения в материале пропорциональны квадрату окружной скорости.

А если это будет не кольцо, а тело иной формы? Удастся ли при той же прочности материала накопить большую кинетическую энергию? Для анализа этого вопроса удобнее всего выразить энергию и прочность через удельные показатели – удельную энергоемкость е = Е/т и удельную прочность х = ?/?. Тогда для маховика в виде вращающегося кольца:

Для маховиков других форм коэффициент k будет принимать другие значения. Например, для диска с очень маленьким центральным отверстием он будет равен 0,3; для диска вообще без отверстия – 0,6. Самой лучшей формой маховика для накопления кинетической энергии является диск равной прочности. Такую форму имеют, например, диски паровых и газовых турбин – толстые в центре и тонкие на периферии.

3.6. Вопрос. Можно ли создать энергоемкий маховик с переменным моментом инерции?

Ответ. Устройство, изображенное на рис. 6, в принципе позволяет как накапливать кинетическую энергию, так и изменять момент инерции. Но из-за низкой прочности такая конструкция будет иметь ничтожную удельную энергоемкость. Если изготовить маховик из резины, то в процессе вращения его момент инерции будет расти тем более, чем больше угловая скорость маховика. К кинетической энергии при этом добавится потенциальная, накопленная при растяжении резины.

Но интерес представляют не маховики с «пассивным» изменением момента инерции, а те, у которых этот показатель можно менять принудительно. Для чего же это может потребоваться?

При постоянном кинетическом моменте маховика можно увеличивать момент инерции за счет уменьшения угловой скорости и наоборот. Пример – человек с гантелями в руках на так называемой платформе Жуковского – диске, закрепленном на стойке на подшипниках (рис. 12, а, б).

Рис. 12. Человек на платформе (скамье) Жуковского: а – с разведенными в сторону руками и большим моментом инерции; б – со сдвинутыми к центру руками и минимальным моментом инерции

Если человек, стоя на этой платформе с разведенными в стороны руками, вращается (рис. 12, а), то сведя руки с гантелями к центру (рис. 12, б), он снижает свой момент инерции, за счет чего значительно увеличивает угловую скорость. Маховики с регулируемым переменным моментом инерции могли бы обеспечить практически любую угловую скорость, необходимую рабочему органу машины, например, колесам автомобиля.

3.7. Вопрос. К каким последствиям может привести замена инерциальной системы отсчета на неинерциальную, например, вращающуюся?

Ответ. Каждому относительному движению тела во вращающейся системе отсчета можно поставить в соответствие движение точно такого же тела относительно инерциальной системы координат. Но для такого соответствия надо воспроизвести не только те реальные силы, которые действовали на исходное тело, но и добавить новые силы, соответствующие эйлеровым силам инерции в относительном движении исходного тела. Эйлеровы силы инерции здесь определяются как реальные силы, действующие на тело, в предположении, что подвижная система отсчета условно принимается за неподвижную. Например, если поворачивающий автобус мы примем за неподвижный, то нам придется считать реальными центробежные силы, действующие на повороте.

Таким образом, если мы свяжем подвижную систему координат с Землей, то ускорение точки на Земле в «абсолютной» системе – реальное ускорение – будет являться векторной суммой трех ускорений: относительного, переносного и кориолисова (по имени французского механика XIX века Густава Кориолиса), которое возникает тогда, когда подвижная система координат вращается. Вот с этим-то кориолисовым ускорением и соответствующей ему кориолисовой силой начинают происходить «чудеса» наподобие тех, что происходят с даламберовыми силами инерции. Их начинают считать реально существующими, приписывать им соответствующие действия и т. д.

Здесь надо твердо помнить, что и переносные, и кориолисовы силы инерции – силы нереальные, они зависят только от выбора системы координат и не отражают взаимодействий взятой точки с другими точками. Не имеют эти силы и противодействия, которое по третьему закону Ньютона должна иметь каждая сила. Силы инерции, какими бы они ни были, всегда нереальны; и нельзя верить, если даже в учебнике написано, что они на что-то «действуют» (см. вопрос 3.3). Силы эти, по образному выражению известного физика Ричарда Фейнмана, – «псевдосилы».

3.8. Вопрос. Можно ли определить эйлеровы силы инерции не формально, а исходя из физической сути явлений?

Ответ. Можно, хотя на это понадобится воображение [17] . Рассмотрим вспомогательное тело, полностью идентичное основному. Пусть это вспомогательное тело совершает в точности такие же движения по отношению к произвольно выбранной «абсолютной» системе координат, какие совершает основное тело по отношению к выбранной неинерциальной системе координат. Таким образом, на все точки вспомогательного тела действуют те же физические силы, что и на основное тело. Однако, чтобы движение вспомогательного тела относительно «абсолютной» системы координат в точности повторяло движение основного тела относительно неинерциальной системы координат, необходимо к вспомогательной системе приложить, помимо всех физических сил основной системы, еще и дополнительные силы. Так как движение рассматривается по отношению к «абсолютной», инерциальной системе отсчета, то это могут быть только физические силы. Очевидно, что они точно соответствуют эйлеровым силам инерции.

Таким образом, эйлеровы силы инерции равны тем физическим силам, которые следует добавить к исходным физическим силам, чтобы в точности воспроизвести относительное движение какого-либо тела как движение абсолютное, т. е. в инерциальной системе отсчета.

3.9. Вопрос. Если кориолисовы силы инерции нереальны, как они могут вызвать подмывание берегов рек? Что такое гироскопический эффект?

Ответ. Подмывание берегов рек можно качественно объяснить и без использования подвижной системы отсчета, эйлеровых сил инерции и других предположений.

Известно, что у рек, текущих в Северном полушарии, подмываются правые берега. Взглянем на Землю с высоты со стороны ее Северного полюса. Представим для простоты, что река, начинаясь на экваторе, течет прямо на север, пересекает Северный полюс и заканчивается тоже на экваторе, но уже с другой стороны. Вода в реке на экваторе имеет ту же скорость в направлении с запада на восток, как и ее берега (не течение реки, а именно скорость воды вместе с берегами и с Землей). Это при суточном вращении Земли составляет около 0,5 км/с. По мере приближения к полюсу скорость берегов уменьшается, а на самом полюсе она равна нулю. Но вода в реке «не хочет» уменьшать свою скорость – она подчиняется закону инерции. А скорость эта направлена в сторону вращения Земли – с запада на восток. Вот и начинает вода «давить» на восточный берег реки, который оказывается правым по течению. Дойдя до полюса, вода в реке полностью утратит свою скорость в «боковом» направлении, так как полюс – это неподвижная точка на Земле. Но река продолжает течь теперь уже на юг, и берега ее вращаются опять же с запада на восток со все увеличивающейся по мере приближения к экватору скоростью. Западный берег начинает «давить» на воду в реке, разгоняя ее с запада на восток, ну а вода, по третьему закону Ньютона, «давит» на этот берег, оказавшийся правым по течению.

На Южном полушарии все происходит наоборот. Если взглянуть на Землю со стороны Южного полюса, то вращается она уже в другом направлении. Все, у кого есть глобус, могут проверить это. Вот вам и закон Бэра, названный так в честь российского естествоиспытателя Карла Бэра (1792–1876), подметившего эту особенность рек.

А тут уже недалеко и до объяснения гироскопического эффекта вообще. Продолжим нашу реку дальше и опишем ею замкнутый круг на поверхности Земли. При этом заметим, что вся северная часть реки, находящаяся в Северном полушарии, будет стремиться направо, а вся южная часть – налево. Вот и все объяснение гироскопического эффекта, который считается едва ли не труднейшим в теоретической механике!

Итак, наша река – это огромное кольцо или маховик, вращающийся в том же направлении, что и течение реки. Если при этом поворачивать этот маховик в направлении вращения Земли, то вся северная его часть будет отклоняться вправо, а южная – влево (рис. 13). Иначе говоря, маховик будет поворачиваться так, чтобы его вращение совпало с направлением вращения Земли! Это и является качественным проявлением гироскопического эффекта.

Рис. 13. Схема вращения маховика, «обернутого» вокруг Земли.

3.10. Вопрос. Говорят, что гироскопический эффект удерживает велосипед от падения. Так ли это?

Ответ. Приходится много читать о том, что устойчивость велосипеда достигается благодаря гироскопическому эффекту его колес. Между тем – это явное преувеличение, и вот почему.

Гироскопический эффект – это возникновение момента при попытке принудительного поворота оси вращающегося тела. Но величину гироскопического момента мы пока не определяли. При поворачивании оси велосипедного колеса этот момент равен произведению момента инерции колеса на угловые скорости его вращения и поворота оси (вынужденной прецессии). Для простоты решим, что масса колеса 2 кг, радиус его 0,25 м и, стало быть, момент инерции, примерно равный произведению массы на квадрат радиуса, равен 0,125 кг?м2. Велосипедист спокойно маневрирует уже на скорости 1 м/с, и колесо при этом вращается с угловой скоростью 4 рад/с. Угловая скорость поворота оси колеса раз в 20 меньше и равна примерно 0,2 рад/с. В результате получаем гироскопический момент, равный 0,1 Н?м. Это то же самое, что гирьку в 1 кг подвесить на конец гвоздя, торчащего из стены всего на 1 см. Вряд ли такой ничтожный момент может что-либо изменить в движении велосипеда.

В то же время едущий велосипедист, свернув всего на 10 см от прямой, если не наклонится в сторону поворота, создаст опрокидывающий момент, равный его весу плюс примерно полвеса велосипеда, умноженные на 0,1 м, что достигает порядка 100 Н?м. Этот момент в тысячу раз больше, чем гироскопический момент! Вот таким образом, наклоняясь к центру поворота, велосипедист сохраняет устойчивость.

Кстати, если речь идет о специальных «монорельсовых» транспортных средствах, удерживающих равновесие именно благодаря массивному и быстровращающемуся маховику, то здесь, действительно, помогает гироскопический эффект. Производя вынужденную прецессию (поворот оси) маховика с большим кинетическим моментом, мы вызываем огромные гироскопические моменты, удерживающие в вертикальном положении многотонные машины. Например, при моменте инерции маховика 100 кг?м2(это примерно колесо от железнодорожного пассажирского вагона), угловой скорости 600 рад/с и той же, что и раньше, вынужденной прецессии 0,2 рад/с, гироскопический момент будет равен 12 кН?м, что равносильно грузу 1,2 т, подвешенному на плече 1 м. Столь большой момент может не только стабилизировать тяжелое транспортное средство, но и разрушить быстровращающиеся подшипники маховика. Поэтому возможность возникновения гироскопических моментов надо всегда учитывать при расчете подшипников.

3.11. Вопрос. Если выстрелить из пушки вертикально вверх, то упадет ли снаряд снова в ствол пушки?

Ответ. Эта задача не давала покоя механикам XIX века. Конечно же, снаряд упадет обратно в ствол, если все происходит в абсолютной системе отсчета. А в реальной жизни, то есть на вращающейся Земле, все будет не так. Обычно эту задачу рассматривают с переходом на вращающуюся систему отсчета, что сильно усложняет ее, по крайней мере в математическом отношении. Давайте здесь попробуем рассмотреть лишь качественную сторону этой задачи в инерциальной системе отсчета.

Допустим, на широте Москвы массивная точка падает в вакууме с вышки высотой 100 м. Земля вращается с запада на восток, и точка эта имела в момент падения окружную скорость большую, чем поверхность Земли, так как дальше отстояла от ее центра. Падая, точка сохраняет свою окружную скорость, и соприкоснется она с Землей, сместившись в сторону превышения скорости, т. е. на восток. Расчет показывает, что это смещение невелико – всего 1,2 см.

А теперь выстрелим точечным снарядом вертикально вверх. В момент выстрела – на поверхности Земли – окружная скорость точки меньше, чем на высоте. Поэтому, поднимаясь вверх, точка будет отклоняться на запад. Особенно большое время точка проведет в верхней зоне своего полета, так как вертикальная скорость там мала, поэтому и путь, пройденный на запад, будет достаточно велик. На обратном пути точка тоже будет отклоняться на запад, правда теперь все медленнее и медленнее. Таким образом, она упадет западнее жерла пушки.

Кстати, наклонив ствол пушки чуть-чуть на восток, можно, в принципе, добиться того, чтобы снаряд, падая, коснулся снова жерла пушки; но реально, особенно с учетом влияния атмосферы, это сделать невозможно – задача эта сугубо теоретического плана.

Конечно же, весь расчет можно было бы провести точно, причем без привлечения фиктивных кориолисовых сил. Но большинство специалистов-механиков считает, что помещая нашу пушку в относительную вращающуюся систему координат и вводя фиктивные кориолисовы силы, можно выполнить расчет короче и проще. Если даже это и так, то не потерять бы главного – ощущения реальности происходящего, что в физике играет не последнюю роль!

Оглавление