...Последний [Бог], приступая к построению космоса, начал с того, что упорядочил эти четыре рода [огонь, воду, землю, воздух] с помощью образов и чисел (Платон, Тимей 53 c).
Наша наука [математика] одновременно граничит и с физикой, и с философией; для этих двух наших соседок мы и работаем... С одной стороны, математике приходится размышлять о себе самой, а это полезно, так как, размышляя о себе, она тем самым размышляет о человеческом уме, создавшем ее... Но все же главные силы нашей армии приходится направлять в сторону противоположную, в сторону изучения природы... (А. Пуанкаре, Наука и метод).
В настоящей главе мы рассмотрим роль символов и основные символические системы, которые составляют язык науки и других способов познания человеком себя и окружающего мира. В науке Нового времени основной символической системой стала математическая. Одной из наших целей здесь будет анализ соотношений между математикой и другими, более древними системами, а также обсуждение психологического и онтологического статуса математических понятий. С другой стороны, нам по необходимости придется много говорить и о роли, которую играют в науке и религии слова обыденного языка и образы, не выразимые в словесной или математической форме.
8.1 Числа и фигуры
- Всякое число ведь мы относим к области бытия?
- Если только вообще что-нибудь следует признать бытием (Платон, Софист, 238а).
Я - обезумевший в лесу Предвечных Числ, Со лбом, в бореньях роковых Разбитым о недвижность их!... Как знать, реальность или тени Они? Но холоден, как лед, Их роковой закон гнетет Чудовищностью нарушений. (Э.Верхарн, Числа)
Западноевропейская наука, сформировавшаяся к XVII веку, постулирует два главных метода познания мира: экспериментальный и теоретический, причем последний понимается, в идеале, как описание природных явлений на языке математики ("математика - это язык", У. Гиббс):
Философия записана в грандиозной книге, постоянно раскрытой перед нашими глазами (я разумею Вселенную), но которую нельзя понять, не выучив прежде ее языка и букв, какими она написана. Язык этой книги - математика, а буквы - треугольники, окружности и прочие геометрические фигуры (Галилей, цит. по Х.Борхес, О культе книг).
Отметим, что сам по себе образ, использованный Галилеем, можно найти уже у отцов Церкви, говоривших о двух Книгах - Священном Писании и Книге Природы ("весь сей мир, сия великая и преславная книга Божия", Григорий Богослов).
Идея о математических образах (числах и геометрических фигурах) как имеющих отношение к сущности мироздания является еще более древней. В европейской традиции ее принято возводить к Пифагору (VI в. до н.э.) и его школе:
... В пифагорейских записках содержится также вот что. Начало всего единица; единице как причине подлежит как вещество неопределенная двоица; из единицы и неопределенной двоицы исходят числа; из чисел - точки; из точек линии; из них - плоские фигуры; из плоских - объемные фигуры; из них чувственно воспринимаемые тела, в которых четыре основы - огонь, вода, земля и воздух; перемещаясь и превращаясь целиком, они порождают мир... (Диоген Лаэрций, О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов, кн.8, 1,25; см. также Платон, Тимей, 31-36)
Параллели можно найти в Библии и в восточных традициях.
Одно сказал Бог, два вот услышал я, ибо мощь Богу (Псалтырь 61:12, один из возможных переводов).
Дао рождает одно, одно рождает два, два рождает три, а три - все существа. Все существа носят в себе инь и ян, наполнены ци и образуют гармонию (Дао Дэ Цзин 42).
По древнегреческому преданию, числа были даны смертным людям титаном Прометеем.
Я научил из первой из наук, Науке числ и грамоте (Эсхил, Прометей прикованный).
Платон различал два рода чисел: идеальные (качественно различные и не сводимые друг к другу) и математические (см. об этом подробно: А.Ф. Лосев, Очерки античного символизма и мифологии, с.608 и далее). Математические числа понимались как некоторые сущности, промежуточные между идеями и вещами, своего рода посредники между идеальным и материальным миром. Ниже мы увидим, что подобных воззрений до сих пор придерживаются некоторые математики и физики.
Каждому числу, большему единицы, эзотерические традиции приписывали внутренний символический смысл.
Что же касается учения о числах, то им он [Пифагор] занимался вот для чего... Первообразы и первоначала, говорил он, не поддаются ясному изложению на словах, потому что их трудно уразуметь и трудно высказать, оттого и приходится для ясности обучения прибегать к числам... Понятие единства, тождества, равенства, причину единодушия, единочувствия, всецелости, то, из-за чего вещи остаются самими собой, пифагорейцы называют Единицей; Единица эта присутствует во всем, что состоит из частей, она соединяет эти части и сообщает им единодушие, ибо причастна к первопричине. А понятие различия, неравенства, всего, что делимо, изменчиво и бывает то одним, то другим, они называют Двоицею; такова природа Двоицы и во всем, что состоит из частей... Таков же смысл и других чисел: всякое из них соответствует какому-то значению. Так, все, что в природе вещей имеет начало, середину и конец, они по такой его природе и виду называют Троицей... Точно так же и последующие числа подчинены у них единому образу и значению, который они называют Десяткою... Они утверждают, что десять - это совершенное число, совершеннейшее из всех, и что в нем заключено всякое различие между числами, всякое отношение их и подобие... (Порфирий, Жизнь Пифагора, 48-52).
Особый смысл пифагорейская традиция приписывала числу четыре, которое символизировало устойчивость, "статическую" целостность (в отличие от динамической целостности тройки). Более того, числам можно сопоставить определенные эмоционально насыщенные ассоциации.
И я знаю, что два не число и числом не станет, Это только тоска вдвоем со своею тенью... Цифра два ненавистна мертвым, Но она баюкает женщин. (Ф. Гарсиа Лорка, Введение в смерть)
Как и в системе Пифагора, важную роль геометрическая символика играет в платонизме. В диалоге Платона "Тимей" атомы первоэлементов (земля, вода, воздух, огонь) описаны как правильные многогранники, а их взаимопревращаемость обосновывается возможностью разложить многогранник на треугольники и составить из них другой многогранник (см. следующую главу). В пифагореизме и каббале точка символизирует единицу, единое, божественное:
Закрытое взял Творец и раскрыл его высшему совету. И вот оно: когда пожелал раскрыться самый скрытый из всех скрытых, сделал Он вначале одну точку, Малхут, и это поднялось в Его мысль, т.е. в Бина, т.е. Малхут поднялась и соединилась с Бина. Изобразил в ней всех созданных и утвердил в ней все законы.
Издали - это высшая точка, стоящая в Его чертоге, о которой сказано "Стерегите". "Бойтесь Моей святости" - это точка, стоящая в центре, которой нужно бояться более всего, потому что ее наказание это смерть, как сказано: "Прегрешающие в ней, умирают". Кто они эти прегрешающие? Это те, кто вошел в пространство окружности и квадрата и согрешил. Потому сказано "Бойтесь!" Эта точка называется "Я" и на нее есть запрет раскрывать ее (Зогар).
Как круг, так и квадрат (связанный со священным числом четыре) символизируют организованный мир (космос), отграничивая его от внешнего хаоса. Пересекающий эти фигуры крест (с этим символом связан и математический знак плюс) ведет к дальнейшей организации священного пространства, выделяя центр. Круг часто считается более священным; иногда он противопоставляется квадрату как женское мужскому. Символика круга и квадрата как правило сочетается в главном медитативном объекте индуистской и буддийской янтра-йоги - изображении мандалы, которая представляет собой модель мира-психокосма. На индивидуальной работе по построению мандалы (как вне, так и внутри себя) основаны терапевтические и развивающие методики некоторых современных западных психологов, начиная с К.Г. Юнга. В целях некоторого снижения серьезности приведем еще одну параллель из еврейской традиции.
Еврей купил двадцать цыплят и пришел к раввину:
- Ребе! Посоветуй, что делать, чтобы они у меня не подохли.
- Я тебе дам хороший совет: нарисуй на земле квадрат и посади в него цыплят.
Через некоторое время еврей опять пришел к раввину:
- Ребе, у меня такое горе: пять цыплят подохли.
- Послушай мой совет: нарисуй на земле круг и посади в него цыплят. ...
- Ребе, что ты наделал?! Еще пять цыплят подохли.
- Я тебе дам замечательный совет: нарисуй ромб [затем: прямоугольник] и посади оставшихся цыплят. ...
Еще через пару дней еврей, весь в слезах, снова пришел к раввину:
- Ребе, подохли последние цыплята.
- Как жаль! У меня еще столько было вариантов!
"Геометрическое" объяснение сотворения души человека с привлечением ряда глубоких символов можно найти у Платона:
Рассекши весь образовавшийся [из неделимой и делимой сущностей] состав по длине на две части, Он сложил обе части крест-накрест наподобие буквы Х и согнул каждую из них в круг, заставив концы сойтись в точке, противоположной точке их пересечения. После этого Он принудил их единообразно и в одном и том же месте двигаться по кругу, причем сделал один из кругов внешним, а другой - внутренним. Внешнее вращение Он нарек природой тождественного, а внутреннее - природой иного. Круг тождественного он заставил вращаться слева направо, вдоль стороны [прямоугольника], а круг иного - справа налево, вдоль диагонали... (Тимей 36, ср. Иезекииль 1).
Символика креста встречается в гностических апокрифах:
Но когда завеса разорвется и то, что внутри, откроется - будет покинут тогда сей дом пустынный! Более того, он будет сокрушен. Божественность же вся не убежит в святую святых, ибо не сможет она соединиться со светом [не]соединенным и с Плеромой не [разорванной. Но] будет она под крылами креста [и под его] руками. Этот ковчег будет [для нее] спасением, когда потоп воды захватит их (Евангелие от Филиппа 125).
Она также важна в манихействе (Крест света - часть Души живой, распятая, т.е. связанная в материальном мире) и в оккультизме. Геометрическая символика широко использовалась в средневековой алхимии:
Джон Ди (1527-1607) размышляет следующим образом: "Вполне разумным будет предположение, что четыре прямые линии, расходящиеся в противоположных направлениях из одной, отдельной точки, символизируют тайну четырех элементов... Источником вещей и существ является точка и монада"... Точно так же, как земля соответствует треугольнику, а вода - линии, так огонь соответствует точке... Точка символизирует свет и огонь, а также Божество, поскольку свет есть "образ Божий" или "пример Божества"... Золото обладает "простотой", близкой к простоте круга (символа вечности) и неделимой точки. Золото имеет "круглую форму"... (К.Г. Юнг, Mysterium Coniunctionis, с.63, 64).
Едкая сатира на геометрические увлечения лапутян (очевидно, в связи с пифагорейскими изысканиями ученых средневековья и Нового времени) содержится в "Путешествиях Гулливера".
Все их идеи непрестанно вращаются вокруг чисел и фигур. Если они хотят, например, восхвалить красоту женщины или какого-нибудь животного, они непременно опишут ее при помощи ромбов, окружностей, параллелограммов, эллипсов и других геометрических терминов [ср. с картинами Пикассо и других кубистов - В.И., М.К.] или же терминов, заимствованных из музыки, перечислять которые здесь не к чему. В королевской кухне я видел всевозможные математические и музыкальные инструменты, по образцу которых повара режут жаркое для стола его величества.
Дома лапутян построены очень скверно; стены поставлены криво, во всем здании нельзя найти ни одного прямого угла: эти недостатки объясняются презрительным их отношением к прикладной геометрии, которую они считают наукой вульгарной и ремесленной; указания, которые они делают, слишком утончены и недоступны для рабочих, что служит источником беспрестанных ошибок... Я не встречал других таких неловких, неуклюжих и косолапых людей, столь тугих на понимание всего, что не касается математики и музыки. Они очень плохо рассуждают и всегда с запальчивостью возражают, кроме тех случаев, когда они бывают правы, что наблюдается редко... Вся их умственная деятельность заключена в границах двух упомянутых наук.
Идея о необычайно важной (магической) роли чисел была широко распространена у многих древних или "нецивилизованных" (в европейском смысле) народов. С ней тесно связан запрет на перепись населения, пересчет скота, и т.д.
Племя масаи не считает ни людей, ни животных, полагая, что от этого люди и животные могут умереть.... Васена, в Восточной Африке, изо всех сил противятся попыткам пересчитать их, в полной уверенности, что кто-нибудь из сосчитанных людей скоро после этого умрет. Для акамба, другого племени в той же местности, благополучие их стад имеет очень большое значение, и потому они соблюдают некоторые суеверные правила, нарушение которых, по их мнению, навлекает на стада несчастье. Одно из этих правил состоит в том, что скот нельзя пересчитывать; поэтому, когда стадо возвращается в деревню, владелец лишь окидывает его взглядом, чтобы удостовериться, все ли оно в целости. По убеждению этого племени, пагубность счета не ограничивается стадом, а простирается на все живые существа, и в особенности на девушек.... У индейцев-чироки в Северной Америке существует правило, по которому дыни и тыквы не следует считать, пока они еще на стебле, ибо от этого они не будут как следует созревать.... Индейцы из города Омаха не ведут счета своему возрасту; они полагают, что, считая свои годы, навлекут на себя несчастье... (Дж. Фрэзер, Фольклор в Ветхом Завете, М., Политиздат, 1989, с. 363-365)
(см. также известный некогда мультфильм "Козленок, который умел считать до десяти" с его рефреном "Ой... Теперь он и тебя сосчитал..."). Такое отношение к счету ярко проявляется в некоторых местах Библии:
Гнев Господень (!) опять возгорелся на Израильтян, и возбудил он в них Давида сказать: пойди, исчисли Израиля и Иуду... И сказал Иоав царю: Господь Бог твой да умножит столько народа, сколько есть, и еще во сто раз столько, а очи господина моего царя да увидят это; но для чего господин мой царь желает этого дела? ... И подал Иоав список народной переписи царю; и оказалось, что Израильтян было восемьсот тысяч мужей сильных, способных к войне, а Иудеян пятьсот тысяч. И вздрогнуло сердце Давидово после того, как он сосчитал народ. И сказал Давид Господу: тяжко согрешил я, поступив так; и ныне молю Тебя, Господи, прости грех раба Твоего, ибо крайне неразумно поступил я (2 Царств 24:1-10).
И восстал сатана (!) на Израиля, и возбудил Давида сделать счисление Израильтян... И сказал Иоав: да умножит Господь народ Свой во сто раз против того, сколько есть его. Не все ли они, господин мой царь, рабы господина моего? Для чего же требует сего господин мой? Чтобы вменилось это в вину Израилю? ... И не угодно было в очах Божиих дело сие, и Он поразил Израиля... (1 Пар. 21:1-7).
Вера в "социальную" магию чисел (не обязательно вредоносную) характерна также для учения Платона:
Мы признаем наиболее удобным то число, которое обладает наибольшим количеством последовательных делителей... число же 5040 имеет целых 59 делителей, последовательных же - от единицы до десяти. Это очень удобно и на войне, и в мирное время для всякого рода сделок, союзов, налогов и распределений (Платон, Законы V, 738a-b).
Эту мысль Платона обсуждает упадок Г. Вейль в статье "О символизме математики и математической физики":
С точки зрения величины нет особой разницы, будет ли число жителей города 5040 ( 7! - семь факториал) или 5039 (простое число); с точки зрения теории чисел между ними расстояние как от неба до земли... Если в идеальном платоновском городе ночью умрет один житель и число жителей уменьшится до 5039, то город сразу придет в упадок (Г. Вейль, в кн.: Математическое мышление, с.68).
Магии чисел Вейль противопоставляет принцип непрерывности Лейбница, согласно которому "числа входят в объяснение природы благодаря тому, что они имеют характер величин, а не благодаря теоретико-числовым свойствам". Далее, однако, Вейль отмечает, что в квантовой физике нумерология (магия чисел) снова вступает в свои права.
В современную физику "нумерология" проникает через теорию групп: наблюдаемые физические свойства определяются некоторыми наборами целых чисел - размерностями представлений групп симметрии. Этот метод, введенный в квантовую физику главным образом Вейлем и Вигнером, весьма эффективно работает в проблемах атомных спектров, устойчивости атомных ядер (наиболее стабильны и часто встречаются ядра с "магическими" числами протонов и нейтронов), классификации элементарных частиц. К сожалению, нет возможности объяснить это важнейшее положение достаточно компактным образом (см. книгу Ю. Вигнера "Этюды о симметрии", рассчитанную, однако, на достаточно подготовленного читателя). Здесь мы ограничимся лишь кратким пояснением. Целые числа естественно возникают как номера квантовых состояний. Например, состояние электрона в атоме характеризуется четырьмя числами: так называемым главным квантовым числом n 1,2,3,..., орбитальным квантовым числом l ==1,2,...n-1, магнитным квантовым числом m -l,-l+1,...l-1,l и спиновым квантовым числом, принимающим значения +1/2 и -1/2. При этом энергия электрона в атоме зависит лишь от некоторых из них. Так, в пренебрежении взаимодействием электронов друг с другом энергия зависит лишь от главного квантового числа; на соответствующих уровнях может находиться 2n[2] 2, 8, 18... электронов. Эти магические числа, как впервые понял Н. Бор, определяют длины периодов в таблице Менделеева. В свою очередь, они довольно таинственным образом связаны со свойствами группы вращений в четырехмерном пространстве (с размерностями ее так называемых неприводимых представлений). Аналогичным образом, "магические числа" нейтронов и протонов в ядре определяют его устойчивость. Тот факт, что во Вселенной имеется достаточно много гелия, кислорода, кальция, железа (с атомными весами 4, 16, 40, 56), определяется, в конечном счете, повышенной устойчивостью ядер этих элементов, то есть квантовой "магией чисел" (о происхождении химических элементов в процессе ядерных реакций в звездах см. главу 15). Целые числа, [связанные с размерностями неприводимых представлений некоторых непрерывных групп симметрии,] также определяют свойства элементарных частиц (читатель-гуманитарий может без всякого ущерба для понимания пропустить часть этой фразы, заключенную в квадратные скобки). Не случайно пифагорейско-платоновская вера в магию чисел так восхищала одного из создателей квантовой механики В. Гейзенберга (см. гл.9).
С целыми числами мы сталкиваемся и в биологии. Белковая молекула состоит из 20 видов аминокислот, а ее синтез определяется набором четырех типов оснований-нуклеотидов (аденин, гуанин, тимин, цитозин), которые располагаются вдоль молекулы ДНК. Каждая аминокислота кодируется с помощью трех нуклеотидов. Иногда проводится аналогия этого генетического кода с гексаграммами китайской гадательной книги Ицзин.
Число хромосом у данного биологического вида фиксировано. У большинства растений оно принимает "магические" значения, кратные четырем. У человека 23 хромосомы (хотя у человекообразных обезьян - 24), что обеспечивает неодинаковый вклад деда и бабки в наследственные признаки. Гены обеспечивают строго фиксированные числовые значения характеристик животных и растений до значений порядка 25-30 (количество пальцев, зубов, позвонков и т.д.). Различные "каббалистические" системы связывают числовые признаки человека с характеристиками мироздания (макрокосма). Следующий отрывок, хотя и является пародийным, повторяет серьезные толкования, встречающиеся как в "эзотерических" западных, так и в даосских китайских текстах.
Нет архетипов, существует тело. Живот внутри прекрасен, потому что там созревает ребенок... А теперь давай перейдем к магическим числам, которые обожают твои авторы. Один - это ты, потому что другого такого нет, у тебя один... нос, одно сердце, сам видишь, сколько важных вещей существует в единственном числе. Два глаза, уха, две ноздри... Число три наиболее магическое, потому что наше тело его не знает, в нем нет ничего в количестве трех, это должно быть очень таинственное число, которое мы приписываем Богу, где бы мы ни жили. Однако давай поразмыслим: у тебя есть одна хорошенькая штучка, у меня есть одна хорошенькая штучка - сиди и молчи, свое остроумие оставь при себе, - так вот, если эти две штучки сложить, на свет появится еще одно существо, и нас будет трое... И дальше: две ноги и две руки - это четыре, ну и четыре - тоже хорошее число, ты вспомни: у животных по четыре лапы, маленькие дети ползают на четвереньках, о чем хорошо знал сфинкс. О пяти не стоит даже говорить, у нас пять пальцев на руке, а если посмотришь на свои две руки, то увидишь еще одно священное число - десять... А теперь посмотри на свое тело и сосчитай все части, торчащие из туловища... итого шесть, но у женщины - семь... Сколько отверстий у тебя на теле?
- Ну... - итого восемь.
- Видишь? Еще один повод, чтобы признать восемь хорошим числом. А у меня их девять! И именно через девятое ты появился на свет, вот почему число девять более божественно, чем восемь! ...
Люди, у которых есть хоть капля соображения, глядя на закрытую и теплую внутри печь алхимика, отождествляют ее с чревом матери, и лишь твои сатанисты, видя готовую разродиться Богородицу, думают, что это намек на печь алхимика (У. Эко, Маятник Фуко, гл.63; по цензурным соображениям цитата дана с сокращениями).
Еще один аспект "научной" нумерологии - установление соотношений между фундаментальными мировыми константами (заряд и масса электрона, гравитационная постоянная, скорость света, постоянная Планка), которым также много занимались современные физики, например, П. Дирак и в особенности А. Эддингтон. При этом предполагалось, что все безразмерные физические константы не могут быть произвольными, а должны определяться из каких-то математических постоянных (типа числа пи, нулей Бесселевых функций и т.п.). В настоящее время эта идеология не пользуется особой популярностью и вытеснена "антропным принципом", согласно которому существуют различные Вселенные с различными значениями безразмерных физических констант, но лишь в небольшой их части возможна разумная жизнь (см. главу 15). Упоминание "конструктивной" роли числа можно найти и в библейской традиции:
Не невозможно было бы для всемогущей руки Твоей, создавшей мир из необразного вещества, наслать на них множество медведей или свирепых львов, или неизвестных новосозданных лютых зверей, или дышащих огненным дыханием, или извергающих клубы дыма, или бросающих из глаз ужасные искры, которые не только повреждением могли истребить их, но и ужасающим видом погубить. Да и без этого они могли погибнуть от одного дуновения, преследуемые правосудием и рассеваемые духом силы Твоей; но Ты все расположил мерою, числом (!) и весом... Весь мир пред Тобою, как колебание чашки весов, или как капля утренней росы, сходящей на землю (Премудрость Соломона 11:18-23).
Следующий отрывок цитировался Эддингтоном в связи с проблемами космологии и мировых физических констант.
В кисе твоей не должны быть двоякие гири, большие и меньшие; в доме твоем не должна быть двоякая ефа, большая и меньшая; гиря у тебя должна быть точная и правильная, и ефа у тебя должна быть точная и правильная, чтобы продлились дни твои на земле, которую Господь Бог твой дает тебе [в удел] (Втор. 25:13-15).
На Востоке числа, имеющие большое число делителей (108 или 216 стандартное количество бусинок в четках), считаются "священными" и широко применяются в духовной практике и различных оздоровительных системах, например в цигун, пранаяме (число повторений молитв, мантр, движений и физических упражнений, дыхательные ритмы). Число 108 может расшифровываться как произведение 12 (число знаков Зодиака) на 9 (число планет плюс две фазы Луны), тем самым символизируя небо. Книга Перемен (Ицзин) содержит 64 гексаграммы, которые описывают полный цикл эволюции.
Связь некоторых из первых натуральных чисел и наглядных символов-образов устанавливается в различных "эзотерических" системах, например, в системе Пифагора, каббале, арканах Таро. Впрочем, на практике такие упражнения могут вести к суевериям (например, различные расшифровки апокалиптического "числа зверя" 666). Поразительные по своей нелепости нумерологические изыскания связаны с египетскими пирамидами (их историю и детальный критический разбор можно найти в книге В. Замаровского "Их величества пирамиды", М., Наука, 1986, гл.12). Приведем процитированное в этой книге высказывание Н.Ф. Уилера, изобретшего термин "пирамидиотизм" :
В самом деле, не существует никаких особых причин, чтобы эти мистики избрали предметом своего внимания именно пирамиду Хуфу или чтобы они ею ограничились... У пирамиды-спутницы Абусирской пирамиды Сахура отношение половины периметра основания к высоте равняется Неперову основанию натуральных логарифмов (2,71828...). Но мы могли бы пойти дальше и вместо пирамиды Хуфу предметом расчетов избрать хотя бы лондонский Хрустальный дворец... Когда выбирается подходящая единица измерения - скажем, верста, двойной фут, морской узел - можно без труда установить точный эквивалент расстояния до Тимбукту при помощи длины потолочных балок или количества уличных фонарей на Бонд-стрит; точно также можно было бы установить единицу густоты грязи или средний вес взрослой золотой рыбки (цит. соч., с.361, 362).
Подобной ошибки не избежал и известный писатель С.Лем, который ввел в одном из своих рассказов универсальное время задержки 137 секунд, связав его с фундаментальной безразмерной физической постоянной тонкой структуры, равной 1/137. Впрочем, в этом вопросе нет полной однозначности, поскольку единицы измерения также могут иметь сакральный характер.
Длина и ширина 51 на 27 сантиметров, высота 17,5 сантиметров. Такие, на первый взгляд странные, размеры объясняются, видимо, тем, что в то время и в том месте, где он был изготовлен, применялись другие единицы измерения дюйм, фут или что-то еще.
- Если уж вы так придирчивы, - сказал официант, - учтите: то, что имеет силу для сантиметров, имеет силу и для единиц, в которых когда-то измерялось количество души или любви... (М. Павич, Ящик для письменных принадлежностей)
Шагами измеряют пашни, а саблей тело человеческое, но вещи измеряют вилкой (Д.Хармс).
Поучительные нумерологические исследования, также приведшие к неблагоприятным последствиям, изложены в следующем отрывке:
Так слушайте: номер паровоза, который нужно увести в депо в Лысую-на-Лабе - четыре тысячи двести шестьдесят восемь. Слушайте внимательно. Первая цифра - четыре, вторая - два. Теперь вы уже помните сорок два, то есть дважды два - четыре, это первая цифра, которая, разделенная на два, равняется двум, и рядом получается четыре и два. Теперь не пугайтесь! Сколько будет дважды четыре? Восемь, так ведь? Так запомните, что восьмерка в ряду четыре тысячи двести шестьдесят восемь будет по порядку последней. После того, как вы запомнили, что первая цифра - четыре, вторая два, четвертая - восемь, нужно ухитриться и запомнить эту самую шестерку, которая стоит перед восьмеркой, а это очень просто. Первая цифра - четыре, вторая - два, а четыре плюс два - шесть... Но вы можете прийти к тому же результату еще проще... Восемь без двух - шесть. Теперь вы уже знаете шестьдесят восемь, а шесть минус два - четыре, теперь вы уже знаете четыре и шестьдесят восемь, и если вставить эту двойку, то все составит четыре - два - шесть - восемь. Не очень трудно сделать это иначе, при помощи умножения и деления. Результат будет тот же самый. Запомните.... что два раза сорок два равняется восьмидесяти четырем. В году двенадцать месяцев. Вычтите теперь двенадцать из восьмидесяти четырех, и останется семьдесят два, вычтите из этого числа еще двенадцать месяцев, останется шестьдесят. Итак, у нас определенная шестерка, а ноль зачеркнем. Теперь у нас уже сорок два, шестьдесят восемь, четыре. Зачеркнем ноль, зачеркнем и четверку сзади, и мы преспокойно опять получили четыре тысячи двести шестьдесят восемь, то есть номер паровоза, который следует отправить в депо в Лысую-на-Лабе. И с помощью деления, как я уже говорил, это также очень легко сделать. Вычисляем коэффициент, согласно таможенному тарифу... Вам дурно, господин фельдфебель?... Побегу за носилками.
Пришел доктор и констатировал, что налицо либо солнечный удар, либо острое воспаление мозговых оболочек. Когда фельдфебель пришел в себя, около него стоял Швейк и говорил:
- Чтобы докончить... Вы думаете, господин фельдфебель, этот машинист запомнил? Он перепутал и все помножил на три, так как вспомнил Святую Троицу. Паровоза он не нашел. Так он и до сих пор стоит на шестнадцатом пути.
Фельдфебель опять закрыл глаза (Я. Гашек, Похождения бравого солдата Швейка).
Отметим, что очень тонкое интуитивное ощущение свойств целых чисел характерно для некоторых математиков - для них оно составляет важнейший элемент мышления. По воспоминаниям современников, такими способностями обладал гениальный индийский математик Рамануджан.
Разумеется, приведенные цитаты не ставят целью продемонстрировать глупость любой нумерологии: в конце концов, как отмечалось выше, некоторые явно нумерологические законы - скажем, особая стабильность так называемых "магических ядер" - могут быть обоснованы строго научно. В то же время, представляется уместным напомнить и о связанных с нумерологией опасностях ложного понимания (несмотря на реальность предпосылок!). Сюда, по-видимому, относятся и исторические исследования в духе "Новой хронологии" А.Т. Фоменко. Авторы, обладавшие гуманитарной культурой, ранее проводили более талантливые нумерологические изыскания.
Если взять число лет, равное числу дней в месяце, то мы будем иметь правящие людом могучие времена 27, 28 и 29 лет, каждое с особой судьбой и особым жезлом.
28 лет управляет сменой поколений. Смена поколений волны.
Несколько примеров: Пушкин родился через 28(2 после Державина, Чебышев через 28 после Лобачевского, Герцен через 28(6 после Мазепы. Петр Великий через 28 после Мазепы; оба встретились при Полтаве; Эльбрусы своих поколений Карамзин и Чаадаев тоже встретились через 28; Волынский через 28(2 после Никона. Пугачев через 28(7 после Иоанна Грозного...
Каждое поколение держит в руках игрушку, в которой разочаровывается следующее, и ищет новой. Слово, мосты, законы, изнеженность, проклятие жизни, робкое оправдание жизни (В. Хлебников, Спор о первенстве).
В наши дни широкую известность получили попытки использования компьютеров для анализа Торы каббалистическими методами с целью извлечь скрытую в ней информацию о строении и истории мира. Бестселлером стала книга "Библейский код", где описаны результаты анализа путем выборок каждой пятидесятой буквы. В результате были воспроизведены данные о важнейших исторических событиях и великих людях вплоть до нашего времени. Не вдаваясь в дискуссии о достоверности полученных результатов (внешне они впечатляют и активно применяются для пропаганды Торы в технократических кругах), отметим, что эти исследования не встретили поддержки большинства ортодоксальных раввинов. Печальная история о применении каббалистических и оккультных идей вкупе с компьютером также описана в романе популярного писателя У.Эко "Маятник Фуко" (гл. 8):
... Как только ты начинаешь кромсать глину, пусть даже электронную, то становишься демиургом, а тот, кто берется сотворить мир, идет на компромисс с заблуждением и со злом.
Нумерология используется не только для поиска скрытых числовых кодов, но и для толкования (по крайней мере, под определенным углом зрения) некоторых мест священных текстов. Для "расшифровки" больших чисел используется разложение на простые сомножители либо сложение цифр в десятичной записи. Четвертая книга Моисеева (Числа) и ряд отрывков из других книг, целиком посвященные исчислению народа Израиля, часто служат объектом символических и духовных толкований. Приведем несколько примеров, где подчеркнуто явно упоминаются конкретные числа.
Когда Я пять хлебов преломил для пяти тысяч человек, сколько полных коробов набрали вы кусков? Говорят Ему: двенадцать. А когда семь для четырех тысяч, сколько корзин набрали вы оставшихся кусков. Сказали: семь. И сказал им: как же не разумеете? (От Марка 8:19-21)
Симон Петр пошел и вытащил на землю сеть, наполненную большими рыбами, которых было сто пятьдесят три; и при таком множестве не прорвалась сеть (От Иоанна 21:11).
Число сто пятьдесят три может трактоваться как сумма натуральных чисел от 1 до 17 и характеризовать некую полноту, подобно тому как 10 1+2+3+4.
Из городов, которые вы дадите левитам, [будут] шесть городов для убежища, в которые вы позволите убегать убийце; и сверх их дайте сорок два города (Числа 35:6):
И вышли две медведицы из леса и растерзали из них сорок два ребенка (4-я Царств 2:24).
И взяли их живых, и закололи их - сорок два человека, при колодезе Беф-Екеда, и не осталось из них ни одного (4-я Царств 10:14).
А внешний двор храма исключи и не измеряй его, ибо он дан язычникам: они будут попирать святый город сорок два месяца... И даны были ему уста, говорящие гордо и богохульно, и дана ему власть действовать сорок два месяца (Откровение 11:2, 13:5).
В качестве общедоступной параллели к последнему (достаточно серьезному) набору библейских цитат приведем поучительную историю из фантастического романа Д. Адамса "Автостопом по Галактике". В нем рассказывается, между прочим, о попытке некой цивилизации (представители которой известны на Земле как обыкновенные мыши) получить ответ на Великий Вопрос Жизни, Вселенной и Всего Остального. С этой целью был построен компьютер уникальной мощности, который работал в течение семи с половиной миллионов лет. Наконец, настало время ответа.
- Тсс-с!- благоговейно прошептал Лункуал.- По-моему, он сейчас заговорит...
- Готов ли ответ?- величаво спросил компьютер. - Да.
Двое за столом задрожали от волнения.
- Простой и ясный?- выдохнул Пфуок. - Простой и ясный, -подтвердил компьютер.
- Ответ на Великий Вопрос Жизни, Вселенной и Всего Остального?
- Да. - И ты можешь сообщить его нам? - Да. -Прямо сейчас? - Прямо сейчас.
Двое за столом облизали пересохшие губы.
- Хотя я не думаю,- прибавил компьютер, - что ответ вам понравится.
- Не важно!- вскричал Пфуок.- Мы должны знать! Немедленно!...
Пфуок и Лункуал лихорадочно дрожали. Волнение было невыносимым.
- Он вам в самом деле не понравится,- предупредил Пронзительный Интеллектомат.
- Говори! - Хорошо, -сказал он.- Ответ на Великий Вопрос...-- Ну! Жизни, Вселенной и Всего Остального...-Ну! - Это...-произнес компьютер и замолчал. - Ну! - Это... - Ну!!!
- Сорок два, - с бесконечным спокойствием сообщил компьютер...
- Сорок два! - завопил Лункуал. - И это все, что ты можешь сообщить нам после семи с половиной миллионов лет работы?
- Я убежден в правильности ответа,- холодно отрезал компьютер.- По правде говоря, - прибавил он, смягчившись, - дело, я думаю, в том, что вы никогда, собственно, не задумывались, в чем состоит этот вопрос.
Еще через десять миллионов лет, после многих событий, включая уничтожение Земли, удалось узнать и сам "Великий Вопрос Жизни, Вселенной и Всего Остального": что получится, если 6 умножить на 7? Если вернуться к более серьезному разговору, можно вспомнить, что совершенное (по Платону) число 6 символизирует Творца, а священное число 7 - строение мира .
Символика чисел часто совпадает в разных традициях. Например, число четыре ассоциируется с материальным миром (четыре стороны света, четыре первоэлемента-стихии, см. гл.9), число пять - с пятью органами чувств человека. Науке о символическом смысле чисел - арифмологии посвящен ряд трактатов пифагорейцев и платоников (см., напр., А.Ф. Лосев, История античной эстетики).
Ибо есть у вас пять деревьев в раю, которые неподвижны и летом и зимой, и их листья не опадают. Тот, кто познает их, не вкусит смерти (Евангелие от Фомы 22).
В еврейской народной песне дается такая расшифровка смысла первых натуральных чисел:
Что один? Один Бог на небе. Что два? Две скрижали Завета. Что три? Три патриарха. Что четыре? Четыре праматери. Что пять? Пять книг Торы. Что шесть? Шесть книг Мишны. Что семь? Семь дней недели. Что восемь? Восемь дней до обрезания. Что девять? Девять звезд на небе (!). Что десять? Десять заповедей. Что одиннадцать? Одиннадцать снопов поклонились Иосифу. Что двенадцать? Двенадцать колен Израилевых. Что тринадцать? Тринадцать свойств Бога.
Интересна здесь психологическая потребность найти сакральный смысл каждого числа (скажем, звезд на небе можно было бы выделить и больше, и меньше девяти). Даже в тех случаях, когда нумерология не имеет объективного смысла, несомненна ее субъективная важность. Иногда значение, придаваемое тому или иному числу, объясняют "естественными" свойствами человеческой психики. Широко известно, например, принадлежащее американскому психологу Дж.А. Миллеру объяснение выделенности "священного числа" семь: столько независимых блоков информации (например, цифр в последовательности, предметов и т. д.) человек может держать в памяти одновременно (см., например, С. Роуз, Устройство памяти, М., Мир, 1995). Другое естественнонаучное объяснение основано на астрономии: семь "планет" (включая Солнце и Луну), видимых невооруженным глазом; ср. со средневековым алхимическим стишком: Семь металлов создал свет// По числу семи планет...
Символическое (а не буквальное, как часто предполагается в оккультной литературе) значение имеют и гигантские числа, встречающиеся в индийской и буддийской историографии, хронологии и космологии, а также в "эзотерических" традициях каббалы и гностицизма (продолжительность мировых периодов, размеры вселенной, количество эонов-миров).
Будда, испустив свет из [завитка] белых волосков между бровями, озарил восемнадцать тысяч миров на востоке, и не было [места, которого бы этот свет] не достиг: внизу [он достиг] ада авичи, вверху - неба Акашинтха (Лотосовая сутра 1).
В одной из индийских версий мировые сутки состоят их четырех юг (сатья, трета, двапа и кали) и всего составляют 255 620 000 лет, 360 таких суток составляют год Брахмы, а сто таких лет - век Брахмы. В циклических концепциях каббалы (см., напр., книгу Е.А. Торчинова) великий юбилей (буквально по Библии юбилей - 50 лет) составляет 50 000 лет либо 18 000 малых юбилеев.
Большие числа иногда с подчеркнутой точностью упоминаются в художественной литературе, что воспринимается как пародия (достаточно небезобидная, так как пародируются весьма серьезные тексты):
Я утверждаю, что Гаргантюа был одет следующим образом... На его куртку пошло восемьсот тринадцать локтей белого атласа, а на шнуровку - тысяча пятьсот девять с половиной собачьих шкурок. Тогда как раз начали пристегивать штаны к куртке, а не куртку к штанам, что, как убедительно доказал Оккам в комментариях к Exponibilia, магистра Шаровара, противоестественно. На штаны пошло сто пять с третью локтей белой шерстяной материи, и т.д. (Ф. Рабле, Гаргантюа и Пантагрюэль; в других местах указывается точное количество выпитых бочек с вином, съеденных волов и баранов, и т. п.).
До сих пор при обсуждении смысла понятия числа имелись в виду натуральные, то есть целые положительные, числа (кроме рациональных чисел собачьих шкурок и локтей белой шерстяной материи в последней цитате). Понятие рационального числа возникло довольно естественно как отношение целых чисел. Числа более сложной природы естественно возникают в задачах геометрии. Например, уже пифагорейцам было известно элементарное доказательство того, что квадратный корень из двойки - отношение диагонали квадрата к его стороне - не является рациональным числом. История не сохранила имени математика, впервые открывшего этот факт; существует легенда, что после оглашения открытия он был убит (выброшен с корабля в море) потрясенными коллегами. Несмотря на столь решительные меры, скрыть тайну либо сделать это число рациональным не удалось. Такие числа очень долго воспринимались как "ненастоящие", что и соответствует буквальному смыслу слова "иррациональный". Правда, уже Евдокс (IV в. до н.э.) в своей теории пропорций близко подошел к современной концепции иррационального числа как "сечения" множества рациональных чисел. Однако аккуратная формулировка этой идеи и введение иррациональных чисел в науку "на законном основании" произошло лишь в XIX в. (это достижение связано прежде всего с именами немецких математиков Р. Дедекинда, К. Вейерштрасса и Г. Кантора). Тем не менее, даже после этого ряд крупных математиков продолжали по-прежнему скептически относиться к иррациональным числам.
Еще более странными выглядели "трансцендентные" числа, которые (в отличие от упомянутого корня из двух) даже не могут быть корнями никаких алгебраических уравнений с целочисленными коэффициентами. Известно высказывание выдающегося математика XIX века Л. Кронекера: "Господь Бог создал целые числа; все остальное - дело рук человеческих". Он же сказал другому известному математику, Ф. Линдеману, по поводу доказательства последним трансцендентности числа пи (отношения длины окружности к ее диаметру, связанного с классической проблемой квадратуры круга): "Что толку от вашей прекрасной работы? Стоит ли браться за решение подобных проблем, если подобные иррациональные числа вообще не существуют?" (цит. по: М. Клайн, "Математика. Утрата определенности", с. 269).
Вместе с тем, эмпирически мыслящие математики на протяжении многих лет смело пользовались не только иррациональными, но даже и еще более абстрактными комплексными (в частности, мнимыми) числами для решения конкретных задач, не дожидаясь строгих обоснований. Внутренней основой для такой деятельности была по-видимому присущая человеческой психике "архетипическая" идея непрерывности, не сводимая (психологически!) к идее целого числа (подробнее об этом см. в конце главы). Следует, однако, отметить, что широкое введение в математику комплексных чисел в начале XIX века сопровождалось дискуссиями с учеными, боровшихся против формального алгебраического символизма (мнимая единица i) и отстаивавших "геометрический реализм".
Что нужно сказать о мнимых числа? Ум, который старается видеть ясно, разве не сочтет некоторые вещи в них отталкивающими?... Нужно согласиться, что наука стала бы намного более удовлетворительной, если бы все ее части можно было основывать на строгих рассуждениях, на непосредственной очевидности, на простых идеях, осязаемых, как первые понятиях геометрии (Муре, цит. по Ф. Даан-Дальмедико, Ж. Пейффер, Пути и лабиринты. Очерки по истории математики, М., Мир, 1986, с.357).
Правда, уже У. Гамильтон (1805-1865) понимал действия над комплексными числами вполне в современном духе как формальные операции над парами вещественных чисел (x,y). Он же придумал систему гиперкомплексных чисел кватернионов - задаваемых четверками вещественных чисел (четверка Пифагора, Платона и Юнга!). При действии с кватернионами нарушался один из законов обычной арифметики - перестановочность (коммутативность) умножения. Кватернионы оказались очень важными объектами: развитие теории Гамильтона привело к появлению векторного анализа, без чего, в свою очередь, Максвелл не смог бы сформулировать основные уравнения электродинамики. Кватернионы (в виде так называемых "матриц Паули") играют также большую роль в квантовой механике при описании спина - внутренней степени свободы электрона, являющейся аналогом классического момента вращения (подробнее см. в гл.10). Геометрически кватернионы связаны с преобразованиями (вращениями, сдвигами, растяжениями-сжатиями) в трехмерном пространстве Таким образом, алгебраический и геометрический подходы, как и в случае с комплексными числами, в действительности равно необходимы и важны. О соотношении этих двух подходов с точки зрения психологии мы поговорим в конце главы.
8.2 Слово и символика букв
Слово только оболочка, Пленка, звук пустой, но в нем Бьется розовая точка, Странным светится огнем. (Арс.Тарковский, Слово)
Так я слышал однажды: Победоносный пребывал в Раджагрихе на горе Гридхракуте вместе с большим собранием монахов-бхикшу, с 1250 монахами и с великим собранием бодхисаттв. В это время Победоносный обратился к достопочтенному Ананде, сказав так: "Ананда, восприми, на благо и спасение всех живых существ эту запредельную мудрость в одну букву, а именно букву А". Так проповедовал Победоносный. Преподобный Ананда, большое собрание монахов, великое собрание бодхисаттв и вся вселенная со всеми богами, людьми, асурами и гандхарвами возрадовались и восславили проповедь Победоносного
(Сутра Победоносной Запредельной Мудрости в Одну Букву).
Вплоть до Нового времени пифагорейско-платоновские идеи о глубинном смысле математической (геометрической и числовой) символики оставались "на обочине" европейской и ближневосточной мысли. По-видимому, убеждение в большей важности "слова" по сравнению с "числом" было общим для христианской, иудейской и исламской традиций, основанной на авраамических религиях Откровения. Напротив, числа играют фундаментальную роль в философии древнего Китая, где типичны высказывания "числа управляют миром". Этот факт, по-видимому, отражает глубокое различие двух цивилизаций. Священные тексты Библии, в огромной степени предопределившие развитие западной культуры, и до сих пор оказывают важное (хотя иногда бессознательное) влияние на жизнь каждого отдельного человека.
Зародыш мой видели очи Твои; в Твоей книге записаны все дни, для меня назначенные, когда ни одного из них еще не было (Псалтырь 138:16).
Тогда я сказал: вот, иду; в свитке книжном написано о мне: я желаю исполнить волю Твою, Боже мой, и закон Твой у меня в сердце (Псалтырь 39:8-9).
Откровение Слова (слышание, Ис.50:5) может быть противопоставлено образному видению (см. гл.5). Уникальность западной библейской традиции иллюстрируется также стихотворением Г. Гессе "Буквы" из приложения к "Игре в бисер":
Но если бы дикарь иль марсианин Вперился взглядом в наши письмена, Ему б узор их чуден был и странен, Неведомая, дивная страна... Ведь целый мир предстал бы уменьшенным В узоре букв пред взором пораженным. Вселенная через решетку строк Открылась бы ему в ужимках знаков, Чей четкий строй так неподвижно-строг И так однообразно одинаков, Что жизнь и смерть, и радость и мученья Теряют все свои несовпаденья.
Вспомним здесь еще апокалиптический образ "книги жизни" (см. эпиграф к гл.2).
В иудаизме исключительно большое значение придается исследованию Торы (первых пяти книг Библии - Пятикнижия Моисеева) и ее оригинального (древнееврейского) языка. Еврейская легенда гласит (цит. по дополнениям к книге Ш. Агнона "В сердцевине морей", М., 1991):
Написали старцы царю Талмаю Тору по грецки [имеется в виду Септуагинта - перевод Библии на греческий язык , сделанный в 3 в. до н.э. по приказу Птолемея], и день этот был тяжек Израилю, как день, когда согрешили с золотым тельцом, ибо не переводится в Торе все требуемое... Окончили они перевод 8-го числа месяца тевета, и на три дня померк свет, и мгла застила солнце.
Действительно, важность священного языка и алфавита для развития и сохранения духовной культуры не вызывает сомнений; в качестве одного из формальных аргумента здесь может быть привлечено "числовое содержание" (см. ниже). Ряд исследователей отмечают роль греческого и латинского переводов Библии (Септуагинты и Вульгаты) в различии формирования восточной и западной христианских цивилизаций (справедливости ради нужно отметить, что создатель Вульгаты бл.Иероним при переводе пользовался еврейским текстом и тем самым "избежал" влияния греческой философии). Интересна лингвистическая аргументация Гейне против католицизма и в пользу лютеранства (и выросшей на его основе немецкой философии):
Язык этот [немецкий] показывает, что он не только пригоден для метафизических изысканий, но что он создан для них гораздо более латинского. Этот последний, язык римлян, никогда не может оторваться от своего корня. Это язык команды для полководцев, язык указов для администраторов, язык юстиции для ростовщиков, лапидарный язык для твердого, как камень, римского народа. Он оказался подходящим языком для материализма. Хотя христианство, с терпением поистине христианским, более чем тысячелетие в муках стремилось спиритуализовать этот язык, это не удалось ему... Но лишь в новейшие времена стала действительно заметна пригодность немецкого языка для философии. Ни на каком другом языке не могла бы природа открыть сокровеннейшее свое создание, кроме как на нашем милом, родном немецком языке. Только на могучем дубе могла вырасти священная омела (К истории религии и философии в Германии).
Разумеется к содержательной стороне этих утверждений можно относиться по-разному; для правильного понимания некоторых полемических крайностей следует иметь в виду, что цитируемая книга написана для французского, то есть романоязычного, читателя с целью раскрыть богатство духовной жизни родины Гейне - Германии.
Что касается православия Восточной Европы, Кирилл и Мефодий создали на основе Септуагинты не только перевод Библии, но и новый сакральный язык церковнославянский. Онтологические аспекты языка обсуждаются, например, в книге А.М.Камчатнова "История и герменевтика славянской библии" (М., Наука, 1998). Многие деятели культуры отмечают серьезные разрушительные последствия упрощения орфографии (в частности, ликвидации "ненужных" букв) после революции в России, хотя с прагматической "светской" точки зрения эти потери непонятны.
Несомненно важным фактором для современной науки (а в более общей постановке - для всей западной культуры) является широкое использование английского языка, фактически ставшего международным (в средние века такую роль играл латинский язык; позднее в течение некоторого времени в научном общении доминировал немецкий).
Сыромятный ремень стяните тройным узлом, Прямым, как наш Закон, объединивший дом, Закон, связавший в одно мильоны умов и душ Степь и Кленовый Лист, Ракитник и Южный Буш. Вас не надо учить, как закон создавать. Вы, мои сыновья, не предадите мать. Вам пора разговор начинать с родней, На то вам и дан язык - английский, а не иной (After the use of the English, in straight-flung words and few). (Р. Киплинг, Ответ Англии)
Роль наиболее глубоких символов, которую у Пифагора и Платона играли числа и геометрические фигуры, в еврейской традиции принадлежит буквам еврейского языка. В мидраше говорится
В момент сотворения мира, огненным резцом выгравированные на августейшей короне Господа, двадцать две буквы еврейского алфавита вдруг сошли со своих мест и разместились перед ним. Затем каждая буква сказала: "сотвори мир через меня".
Подробно роль каждой буквы в мироздании обсуждается в книге Зогар.
В четырех первых словах Торы ВНАЧАЛЕ СОЗДАЛ ТВОРЕЦ (Берешит Бара Элоким), два первых слова начинаются с буквы бэт, а два следующих - с буквы алеф. Сказано: когда задумал Творец создать мир, все буквы были еще скрыты, и еще за 2000 лет до сотворения мира, Творец смотрел в буквы и забавлялся ими. Когда Творец задумал создать мир, пришли к Нему все буквы алфавита в обратном порядке, от последней - тав, до первой - алеф. Первой вошла буква "тав" и сказала: "Владыка мира! Хорошо, а также приличествует Тебе построить мною, моими свойствами, мир. Потому что я печать на кольце Твоем, называемом правда-эмэТ, заканчивающаяся на букву Тав. А потому сам Ты называешься правда, и поэтому подходяще Царю начать мироздание с буквы тав, и ею, ее свойствами, создать мир". Ответил ей Творец: "Красива и пряма ты, но не достойна, чтобы твоими свойствами был создан задуманный Мною мир, потому как в будущем ты будешь записана на лбах истинно верующих, выполняющих всю Тору от алеф до тав (от первой до последней буквы) и погибших из-за тебя"...
Вошла к Творцу буква бэт и сказала: "Создатель мира, хорошо мною сотворить мир, потому что мною Благословляют Тебя и высшие и низшие. Ведь Бэт это Браха-благословение". Ответил ей Творец: "Конечно, тобою Я создам мир и ты будешь началом мира!". Стояла буква алеф и не вошла предстать перед Творцом. Сказал ей Творец: "Почему ты не входишь ко Мне, как все остальные буквы?" Ответила Ему: "Потому что видела, что все остальные буквы вышли от Тебя без желанного ответа. И, кроме того, видела я, как Ты дал букве бэт этот большой подарок. А ведь не может Царь вселенной забрать обратно свой подарок и передать его другому!" Ответил ей Творец: "Хотя с буквой бэт Я создам мир, но ты будешь стоять во главе всех букв и не будет во Мне единства, как только через тебя, с тебя всегда будет начинаться расчет всего и все деяния этого мира, а все единство только в тебе.
Даже отдельным буквам Торы приписывается невероятное могущество. Согласно другому мидрашу,
"Хорошо весьма" (см. Быт.1:31) - "тов ме'од". Но у мудрецов наших хранился свиток Торы с опиской: "тов мавет" - "И увидел Бог все, что Он создал, и вот, хороша смерть". Прочесть такой свиток - рухнет мир (цит. по указанной книге Ш. Агнона).
Аналогичным образом, в индуизме творение осуществляется слогом Аум (Ом) (см. также Н.В.Исаева, "Слово, творящее мир"). Менее важна роль слова в буддизме, особенно в дзен ("Что невыразимо в словах, неистощимо в действии"); впрочем, никакое противопоставление не бывает абсолютным, ср. с 1 Кор.4:20 и сутрой в эпиграфе.
Установление числовых значений каждой буквы алфавита (что может быть сделано для всех "священных" языков - еврейского, греческого, латинского и церковнославянского) позволяет ставить вопрос о числовом коде (гематрии) каждого слова либо отрывка текста. Наиболее подробно эта техника "работы" со священными текстами развита в каббале. Аналогичная изощренная система "работы" с арабскими священными текстами была разработана в суфийской традиции. В качестве одного из приемов используется сложение числовых значений арабских букв, обратный переход от числа в десятичной системе к буквам и использование всех перестановок согласных в корне слова для нахождения новых смыслов (особенно в священных текстах). Приведем пример из книги Идрис Шаха "Суфизм"(с. 204, 205):
Теперь мы можем рассмотреть таинственное слово "суфий", само по себе вызывающее вопросы и недоумения. Расшифровка этого слова по известной нам схеме дает следующее: С90, Вау6, Ф80, Йай10. Эти согласные произносятся при чтении слова. Сумма их эквивалентов равна 186. Для того, чтобы расшифровать слово, необходимо разложить сумму эквивалентов его букв на сотни, десятки и единицы: 186100+80+6. Эти цифры следует заменить соответствующими им буквами: 100К, 80Ф, 6Вау. Из этих букв можно составить несколько трехбуквенных арабских корней, каждый из которых будет служить указанием на один из аспектов суфизма. Самым главным из них является корень ФУК, передающий значение "вышестоящего, трансцендентального". Следовательно, суфизм можно характеризовать как трансцендентальную философию.
С другой стороны, у суфиев можно найти и такие высказывания:
Форма не осведомлена о сущности духа, слово это одно, а дух - это нечто другое. К чему подсчитывать буквы Корана и исследовать внешнее его содержание, какой смысл пересказывать легенды его сотворения. Буквы, хотя существуют с духом вместе, подобны рисунку на берегу моря (Санои).
Несомненно, знай, что всякая буква из Писания является идолом, а идол, несомненно, есть твоя завеса (Аттар).
Так как Божье слово не арабское, не персидское и не древнегреческое или же сирийское, оно очищено от звуков и от голоса (Руми).
Важно иметь в виду, что символика букв в суфизме, как и символика чисел у Пифагора, использовалась часто лишь в "педагогических" целях - как попытка "выразить невыразимое" (подробнее эта сторона дела рассматривается в главе 10, посвященной квантовой механике):
У Рифаи спросили:
- Почему вы используете так много аналогий, когда говорите о высшем понимании? Нельзя ли говорить о таких вещах прямо?
Он ответил:
- Это пример "высокого невежества, дающего верную информацию". Если бы не было людей несведущих, мы не могли бы распознать, кто же мудр. Знайте поэтому, что и сам язык - аналогия. Каждое слово каждая буква, каждая фраза является аналогией. Мы не можем говорить словами о высшем порядке прямо, потому что нет языка, включающего в себя высшее и не включающего, также, низшего (Идрис Шах, Мыслители Востока, М., 1994).
Достаточно серьезной является проблема языков с упрощенной орфографией и грамматикой, искусственно созданных людьми (с религиозной точки зрения следовало бы добавить - а не Богом) первоначально в целях межнационального общения (эсперанто, волапюк и т.д.). Ни один из этих языков не нашел широкого реального применения, но позднее близкие идеи были использованы для создания языков общения с компьютерами. В рассказе Х.Л. Борхеса "Аналитический язык Джона Уилкинса" подробно изложена (со ссылками на такие авторитеты как Лейбниц) еще более продвинутая техника построения слов. В ней, после детальной классификации всех понятий, применяется прямая аналогия с десятичной (или двоичной) записью чисел. Предельный случай "математического" подхода к языку дает известная серия анекдотов о том, как в скучающей компании все анекдоты были повторены настолько много раз, что оказалось удобным их пронумеровать и в дальнейшем при рассказе называть только номер.
Приведем еще один отрывок, оценивающий полезность слова с негативной стороны и предлагающий более "экологичный" (для сознания) выход, чем использование компьютерных методов.
Первый проект предлагал сократить разговорную речь путем сведения многосложных слов к односложным и упразднения глаголов и причастий, так как в действительности все мыслимые вещи суть имена. Второй проект требовал полного уничтожения всех слов; автор этого проекта ссылался главным образом на его пользу для здоровья и сбережение времени. Ведь очевидно, что каждое произносимое нами слово сопряжено с изнашиванием нами легких и, следовательно, приводит к сокращению нашей жизни. А так как слова суть только названия вещей, автор проекта высказывает предположение, что для нас будет гораздо удобнее носить при себе вещи, необходимые для выражения наших мыслей и желаний. Это изобретение... получило бы широкое распространение, если бы женщины, войдя в стачку с невежественной чернью, не пригрозили поднять восстание...: так простой народ постоянно оказывается непримиримым врагом науки! Тем не менее, многие весьма ученые и мудрые люди пользуются этим способом выражения мыслей при помощи вещей. Единственным неудобством является то обстоятельство, что в случае необходимости вести пространный разговор на разнообразные темы собеседникам приходится таскать на плечах большой узел с вещами, если средства не позволяют нанять для этого одного или двух здоровых парней (Дж.Свифт, Путешествия Гулливера).
Использование языка таит в себе и ряд других трудностей. Некоторые парадоксы, связанные с различием объекта и его названия, демонстрирует следующий отрывок.
- Заглавие этой песни называется "Пуговки для сюртуков". - Вы хотите сказать - песня так называется? - спросила Алиса, стараясь показать, что песня ее очень интересует. - Нет, ты не понимаешь, - ответил нетерпеливо Рыцарь.- Это заглавие так называется. А песня называется "Древний старичок". - Это у песни такое заглавие? - переспросила Алиса. - Да нет! Заглавие совсем другое. "С горем пополам!" Но это она только так называется! - А песня эта какая? - спросила Алиса в полной растерянности. - Я как раз собирался тебе об этом сказать. "Сидящий на столбе!" Вот какая это песня! (Л. Кэрролл, Алиса в Зазеркалье).
К этому диалогу в какой-то мере близки так называемые рекурсивные парадоксы математической логики и теории множеств. Простейший пример здесь "парадокс брадобрея": брадобреем по определению называется тот, кто бреет всех жителей деревни, кроме тех, кто бреется самостоятельно; спрашивается, должен ли брадобрей бриться сам. Аналогично формулируется "парадокс лжеца", упоминание о котором есть в Новом Завете.
Из них же самих один стихотворец сказал: "Критяне всегда лжецы, злые звери, утробы ленивые". Свидетельство это справедливо. По сей причине обличай их строго, дабы они были здравы в вере (К Титу 1:12-13).
Символика букв и алфавита играет важную роль практически во всех развитых религиях - от христианства до индуизма:
Я есмь Альфа и Омега, начало и конец, говорит Господь, Который есть и был и грядет, Вседержитель... Я есмь Альфа и Омега, начало и конец, Первый и Последний (Откровение 1:8,22:13).
Творениям Я - начало, конец, а также середина, о Арджуна... Я же - и речь одаренных словом. Из букв Я есть буква А. Я же - двойственность в сочетаниях букв. Я - также вечное время (Бхавадгита 10:32-33).
Приведем также отрывок из христианского апокрифа:
И он показал Ему ясно все буквы от альфы до омеги и много задавал вопросов. А [Иисус] посмотрел на учителя Закхея и спросил его: Как ты, который не знаешь, что такое альфа, можешь учить других, что такое бета. Лицемер! Сначала, если ты знаешь, научи, что такое альфа, и тогда мы поверим тебе о бете. И Он начал спрашивать учителя о первой букве, и тот не смог ответить Ему. И тогда в присутствии многих слышавших ребенок сказал Закхею: слушай, учитель, об устройстве первой буквы и обрати внимание, какие она имеет линии и в середине черту, проходящую через пару линий, которые, как ты видишь, сходятся и расходятся, поднимаются, поворачиваются, три знака того же самого свойства, зависимые и поддерживающие друг друга, одного размера. Вот таковы линии альфы.
Когда учитель Закхей услышал, сколь много символов выражено в написании первой буквы, он пришел в замешательство таким ответом и тем, что мальчик обучен столь великому, и сказал тем, кто был при этом: Горе мне, я в недоумении, я, несчастный, я навлек позор на себя... Я не могу вынести суровость Его вида, я совсем не могу понять Его речи... Может быть, Он рожден еще до сотворения мира (Евангелие детства 6:4-9, 7:1-5).
Данный фрагмент очень напоминает эпиграф к разделу (впрочем, смысл этой сутры несколько иной - подразумевается выход за пределы любой двойственности к единому невыразимому). Еще один взгляд на природу символа дает рассказ Х.Л. Борхеса "Алеф".
В диаметре Алеф имел два-три сантиметра, но было в нем все пространство вселенной, причем не уменьшенное. Каждый предмет (например, стеклянное зеркало) был бесконечным множеством предметов, потому что я его ясно видел со всех точек вселенной. Я видел густо населенное море, видел рассвет и закат,... все зеркала нашей планеты, и ни одно не отражало меня,... экземпляр первого английского перевода Плиния, одновременно каждую букву на каждой странице,... видел Алеф, видел со всех точек в Алефе земной шар, и в земном шаре опять Алеф, и в Алефе земной шар...
Как мы уже неоднократно отмечали, говорить о важных вещах исключительно серьезным тоном было бы ошибкой. Поэтому - еще пара цитат, демонстрирующих общезначимость данного вопроса:
Перед Иа на земле лежали три палочки, на которые он внимательно смотрел. Две палочки соприкасались концами, а третья палочка лежала поперек них. Пятачок подумал, что это, наверно, какая-нибудь Западня....
- Ты знаешь, что это такое?
- Нет, -сказал Пятачок.
- Это "А"... Кристофер Робин сказал, что это "А" - значит, это и будет "А". Во всяком случае, пока на это кто-нибудь не наступит, - добавил Иа сурово... - А ты знаешь, что означает "А", маленький Пятачок?
- Нет, Иа, не знаю.
- Оно означает Учение, оно означает Образование, Науки и тому подобные вещи, о которых ни Пух, ни ты не имеете понятия. Вот что означает "А"! ... Слушай меня, маленький Пятачок. В этом Лесу топчется масса всякого народа... Они разгуливают тут взад и вперед и говорят "Ха-ха!" Но что они знают про букву "А"? Ничего. Для них это просто три палочки. Но для Образованных, заметь это себе, маленький Пятачок, для Образованных - я не говорю о Пухах и Пятачках - это знаменитая и могучая буква "А" (А.А. Милн, Винни-Пух и все-все-все).
- Ты, конечно, отличишь А от Я? - спросила Черная Королева.
- Отличу, - отвечала Алиса.
- И я тоже, - прошептала Белая Королева. - Будем отличать вместе. Хорошо, милочка? Открою тебе тайну - я умею читать слова из одной буквы! Видишь, какая я умная! Но не отчаивайся! И ты со временем этому научишься! (Л. Кэрролл, Алиса в Зазеркалье)
Еще раз напомним, что умение находить смысл ("читать") не только в каждой букве, но и "иоте и черте" (Мф. 5:17-18, см.гл.6) реально необходимо при работе со священными текстами.
Пример в духе черного юмора дает рассказ А.Аверченко из сборника "10 ножей в спину революции" о состоянии грамотности в советской России, где якобы запрещена любая литература, и люди, чтобы удовлетворить потребность в чтении, ходят за город смотреть на виселицы, напоминающие буквы Г и У.
В большинстве культур буквы (греческие, латинские, т.е. римские, славянские...) использовались и для обозначения чисел. Однако использование арабских (в действительности индийских) цифр и десятичной записи резко упростило арифметические вычисления. Аналогичным образом, использование таблиц логарифмов "удлинило жизнь" астрономов.
Оттого-то словно пена Опадают наши рифмы И величие степенно Отступает в логарифмы. (Б.Слуцкий, Физики и лирики)
С другой стороны, возврат букв в науку произошел после широкого внедрения алгебры (а это как раз арабское изобретение!). Алгебраическая символика позволила во много раз сократить громоздкие словесные доказательства и рассуждения, использовавшиеся средневековыми математиками. Огромное значение для естественных наук имело широкое использование языка формул. Многие обозначения для физических величин и фундаментальных констант (энергия Е, скорость света с) уже прочно утвердились и воспринимаются как единственно возможные. Разумеется, с точки зрения чистой логики или математики (но не психологии!) такое убеждение абсурдно. Интересно, что один из наиболее "прагматически" настроенных великих физиков нашего времени, Э. Ферми, считал введение удачных (с психологической точки зрения?) обозначений делом первостепенной важности в теоретической физике. Две разные символики математического анализа (обозначения производных и интегралов от функций) были предложены Ньютоном и Лейбницем. Более удобной оказалась вторая из них (с помощью символа дифференциала - буквы d); символика Ньютона была слишком тесно связана с наглядным физическим пониманием производной как скорости изменения чего-то. Впрочем, некоторые крупные математики считают, что удобство лейбницевских обозначений достигнуто ценой их чрезмерной абстрактности:
На основании изучения Паскаля и своих собственных рассуждений Лейбниц довольно быстро развил формальный анализ в том виде, как мы его сейчас знаем. То есть в виде, специально приспособленном для обучения ему людей, которые его совсем не понимают... Формальные правила оперирования с бесконечно малыми, смысл которых неясен, Лейбниц довольно быстро установил... Для схоласта Лейбница такой алгебраический ход мыслей очень типичен (В. И. Арнольд, Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук, М., Наука, 1989, с.36, 37).
Вообще говоря, для "западной" (в частности, библейской) традиции характерно отношение к "магии чисел" как к более слабой по сравнений с "магией слова":
А видевшие то были сильно испуганы и смущены и говорили о Нем: каждое слово, которое Он произносит, доброе или злое, есть деяние и становится чудом (Евангелие детства 5:3).
Такое различие связано с первичной (онтологической) ролью слова в Библии (Быт.1, Ин 1:1). Она включает и этические аспекты.
Спросили рабби Баруха:
- Почему написано: "Благословен Тот, Кто сказал, и появился мир", а не "Благословен Тот, Кто сотворил мир"?
Ответил он:
- Мы славим Господа, сотворившего мир наш словом, а не мыслью, как создал Он иные миры. Ибо цадиков (праведников) судит Господь за дурную мысль, что носят они в сердце; но как могло бы существовать множество жителей сего мира, если б пожелал Господь судить их не за слова и дела, а за дурную мысль в их сердце? (М. Бубер, Хасидские предания)
"Магия слова" обсуждается не только в религиозных традициях, но и в "паранауках" и оккультных подходах различного уровня.
Словом преобразуется жизнь, и словом же жизнь усвояется духу...
Слово - конденсатор воли, конденсатор внимания, конденсатор всей душевной жизни... Термин как слово слов, как слово спрессованное, как сгущенный самый существенный сок слова есть такой конденсатор душевной жизни преимущественно...
Все, что известно нам о слове, позволяет утверждать высокую степень заряженности его оккультными энергиями нашего существа, в слове запасаемыми и отлагающимися вместе с каждым случаем его употребления. В прослойках семемы слова хранятся неисчерпаемые залежи энергий, отлагавшихся тут веками и истекавшими из миллионов уст (П. Флоренский, Магичность слова, в кн.: У водоразделов мысли, с.252, 264, 270).
В современной литературе, пожалуй, наиболее ярко представления о могуществе слова и власти имени выражены в тетралогии Урсулы Ле Гуин о Земноморье. Основа волшебства в созданном ее фантазией мире - это знание истинных имен предметов на истинном языке (это - родной язык драконов; они могут даже лгать на нем; для человека же это невозможно в принципе).
Знать имена - моя профессия, мое искусство, мое ремесло. Понимаешь ли, чтобы соткать магическое заклятие, сначала необходимо узнать подлинное имя предмета. У меня на родине люди всю жизнь скрывают свои подлинные имена ото всех, кроме немногих близких, кому доверяют без оглядки. Ибо в подлинном имени заключена огромная сила и огромная опасность. Некогда, в начале времен, когда Сегой поднял острова Земноморья из океанских глубин, все вокруг имело подлинные имена. И теперь вся магия, все волшебство зависят от знания именно этого - подлинных имен, слов истинной Речи, возникшей вместе с нашим миром... Настоящий волшебник всю свою жизнь тратит именно на выяснение подлинных имен людей и вещей (Гробницы Атуана).
Следующий отрывок иллюстрирует отличие мистики слова и мистики образов.
Когда Ульрих смотрел на какой-нибудь цветок - что отнюдь не было старой привычкой нетерпеливого некогда человека, - он теперь не видел конца созерцанию, да и начала его, в общем-то, тоже. Если он случайно знал название цветка, это было спасением в мире бесконечности... Если же он названия не знал, он призывал садовника, ибо тогда этот старик называл какое-нибудь незнакомое слово, и все снова приходило в порядок, и древнее волшебство, состоящее в том, что обладание верным именем защищает от необузданной дикости вещей, являло свою силу, как десятки тысяч лет назад... Такой человек, как он, если он не обманывал себя, что было недопустимо хотя бы ради Агаты, вряд ли мог верить в стыдливое свидание с природой, свидание, шепот, быстрые взгляды, благочестие и немая музыка которого - это скорее привилегия особой простоты, воображающей, стоит лишь ей положить голову в траву, что ее щекочет в шею сам Бог, хотя в будни она ничего не имеет против того, чтобы природой занималась зеленная торговля. Ульрих испытывал отвращение к этой расхожей, дешевой мистике, которая в основе своей постоянной экзальтированности донельзя беспутна, и предпочитал бессильные попытки обозначить словами какую-нибудь до осязаемости отчетливую краску или описать одну из тех форм, что сами так бездумно и убедительно за себя говорили. Ибо в таком состоянии слово не режет, и плод остается на ветке, хотя уже кажется, что он у тебя во рту; это, пожалуй, первая тайна светлой, как день, мистики (Р. Музиль, Человек без свойств).
Представление о подлинных именах восходит еще к Библии и кораническим сказаниям, согласно которым имена всему существующему были даны Адамом либо сообщены ему Богом.
Господь Бог образовал из земли всех животных полевых и всех птиц небесных, и привел [их] к человеку (Адаму), чтобы видеть, как он назовет их, и чтобы, как наречет человек всякую душу живую, так и было имя ей. И нарек человек имена всем скотам и птицам небесным и всем зверям полевым; но для человека не нашлось помощника, подобного ему... И создал Господь Бог из ребра, взятого у человека, жену, и привел ее к человеку. И сказал (!) человек: вот, это кость от костей моих и плоть от плоти моей; она будет называться (!) женою (евр. иша), ибо взята от мужа (евр. иш) (Бытие 2:19-23).
И научил Он Адама всем именам, а потом предложил их ангелам и сказал: "Сообщите Мне имена этих, если вы правдивы". Они сказали: "Хвала Тебе! Мы знаем только то, чему Ты нас научил. Поистине, Ты - знающий, мудрый!" Он сказал: "О Адам, сообщи им имена их!" И когда он сообщил им имена их, то Он сказал: "Разве Я вам не говорил, что знаю скрытое на небесах и на земле и знаю то, что вы обнаруживаете, и то, что скрываете?" (Коран 2: 29(31)-31(33))
Особое значение в иудаизме приписывается именам Бога (четырехбуквенное Имя - тетраграмматон - настолько свято, что его нельзя произносить), а в христианстве - имени Иисуса Христа (на его повторении основана практика иисусовой молитвы).
Ибо нет другого имени под небом, данного человекам, которым надлежало бы нам спастись (Деяния 4:12).
В ведической традиции имена даются древними певцами-риши, которые тем самым делают тайное проявленным, хотя священная Речь остается доступной лишь для избранных.
О Брихаспати, первое начало Речи [возникло], Когда они [риши] пришли в действие, давая имена [вещам]. Что было в них лучшего, незапятнанного, Это тайно сокрытое в них проявилось с помощью любви. Когда мудрые мыслью создали Речь, Очищая [ее], как муку через сито, Тогда друзья познают содружества: Их приносящий счастье знак нанесен на Речь. Кто-то, глядя, не увидел Речь, Кто-то, слушая, не слышит ее. А кому-то она отдала [свое] тело, Как страстная нарядная жена - мужу. (Ригведа, 10.71)
Параллели можно найти в западном скандинавском эпосе - Старшей Эдде. В следующем отрывке из "Прорицания Вельвы" говорится о творении.
Тогда сели боги на троны могущества и совещаться стали священные, ночь назвали и отпрыскам ночи вечеру, утру и дня середине прозвище дали, чтоб время исчислить.
Категория имени и формы (нама-рупа) является одним из элементов процесса познания мира (становления) в буддизме. Несмотря на развитые в махаяне религиозные молитвенные практики - обращения к буддам и боддхисаттвам, здесь отношение к имени в конечном счете более прагматично.
Когда ко мне приходят живые существа, я [моим] глазом Будды вижу, остры или тупы их корни веры и другие [корни], и сообразно [с тем, насколько живые существа близки] к месту переправы [на тот берег], в разных местах [называю себя] неодинаковыми именами... (Лотосовая сутра 16)
Мысль о важности имени можно встретить и в современной философской литературе.
Число никогда не поднимается до уровня слова. Слово никогда не возвышается до имени (О. Розеншток-Хюсси, Бог заставляет нас говорить, с. 18).
Соотношение слова и числа (в частности, различие их функций) в иудео-христианской традиции и, в более широком смысле, в западной культуре прекрасно выражено в известном стихотворении Н.Гумилева "Слово":
В оный день, когда над миром новым Бог склонял свое лицо, тогда Солнце останавливали словом, Словом разрушали города. И орел не взмахивал крылами, Звезды жались ужасом к луне, Если, точно розовое пламя, Слово проплывало в вышине. А для низкой жизни были числа, Как домашний, подъяремный скот, Потому что все оттенки смысла Умное число передает. Патриарх седой, себе под руку Покоривший и добро и зло, Не решаясь обратиться к звуку, Тростью на песке чертил число. Но забыли мы, что осиянно Только слово средь земных тревог, И в Евангелии от Иоанна Сказано, что слово - это Бог. Мы ему поставили пределом Скудные пределы естества, И, как пчелы в улье опустелом, Дурно пахнут мертвые слова.
Об ограниченности числовых и геометрических представлений говорит Г. Гейне.
Поскольку идеи проявляются в нашем духе и природе,они могут быть очень хорошо выраженными числами; но все же число остается всегда знаком идеи, а никак не самой идеей. Мастер еще сознает это различие, ученик же забывает о нем и передает своим ученикам лишь числовую иероглифику, голые шифры, живое значение которых никому уже не известно... То же относится и к прочим элементам математической формы. Духовное в своем вечном развитии не терпит никакого фиксирования; как и в числе, оно столь же мало может быть фиксировано в линии, треугольнике или круге (К истории религии и философии в Германии).
Преимущества обыденного "естественного" языка, как и символа в высоком смысле слова, обусловлены его многозначностью.
- Когда я беру слово, оно означает то, что я хочу, не больше и не меньше, - сказал Шалтай высокомерно (Л. Кэрролл, Алиса в Зазеркалье).
Связанные с этим обстоятельством недостатки строгого логико-математического языка отмечает и ученый-естествоиспытатель:
Первичным языком, который вырабатывают в процессе научного уяснения фактов, является в теоретической физике обычно язык математики, а именно математическая схема, позволяющая физикам предсказывать результаты будущих экспериментов... Но и для физика возможность описания на обычном языке является критерием того, какая степень понимания достигнута в соответствующей области... Логический анализ приносит с собой опасность слишком большого упрощения. В логике внимание направлено на специальные языковые структуры, на однозначное связывание посылок и заключений, на простые схемы рассуждений. Всеми другими структурами в логике пренебрегают. Эти структуры могут получаться, например, благодаря ассоциациям между определенными промежуточными значениями слов... Тот факт, что любое слово может вызвать в нашем мышлении многие, только наполовину осознаваемые движения, может быть использован для того, чтобы выразить с помощью языка определенные стороны действительности более отчетливо, чем это было бы возможно с помощью логической схемы (В. Гейзенберг, Физика и философия. Часть и целое, с.104-106).
Вообще, математическое мышление отличается заметной спецификой, которая может оказывать существенное влияние на личность.
Бойяи... вызвал на дуэль 13 (?!) молодых людей, состоящих на государственной службе, и в промежутках между поединками развлекался игрою на скрипке, составлявшей единственную движимость в его доме. Когда ему назначили пенсию, он велел напечатать белыми буквами на черном фоне пригласительные билеты на свои похороны и сделал сам для себя гроб. Через семь лет он снова напечатал второе приглашение на свои похороны, считая, вероятно, первое уже недействительным, и в духовном завещании обязал наследников посадить на могиле яблоню, в память Евы, Париса и Ньютона. И такие штуки проделывал великий математик, исправивший геометрию Эвклида! (Ц. Ломброзо, Гениальность и помешательство)
В то же время, математика как язык обладает своими уникальными особенностями и преимуществами, дисциплинируя ум:
Начала математического познания отчетливы, но в обыденной жизни неупотребительны, поэтому с непривычки в них трудно вникнуть; зато всякому, кто вникнет, они совершенно очевидны, и только совсем дурной ум не способен построить правильного рассуждения на основе столь самоочевидных начал (Б. Паскаль, Мысли, с. 281).
Но даже эта "очевидность" таит в себе опасности, связанные с сужением кругозора.
Всякий, изучающий математику, приходит в такой восторг от точности охватываемых ею наук и ясности их доказательств, что о философах [в широком смысле] у него начинает складываться благоприятное мнение... Это очень большое несчастье... Мало существует людей, занимающихся математикой и не становящихся при этом вероотступниками и не скидывающих с голов своих уз благочестия (Газали, Избавляющий от заблуждения).
С этой точки зрения можно расценивать сомнительные изыскания таких прекрасных математиков, как И. Шафаревич и А. Фоменко, в области политологии и истории соответственно. Неизбежными упрощениями страдают и в принципе интересные исследования религиозной символики Б. Раушенбахом (например, непротиворечивая "векторная модель св.Троицы"); в этой связи еще раз вспомним слова Гр. Паламы о том, что от науки запрещается ожидать точных познаний о божественном (см. конец гл.5).
Как бы то ни было, сейчас математические понятия не кажутся нам столь самоочевидными, как во времена Паскаля. Проблемы, связанные с более тонкими особенностями языка математики, рассматриваются в последнем разделе этой главы.
8.3 Математика как символическая система
Стало быть, ум математический будет правильно работать, только если ему заранее известны все определения и начала, в противном случае он сбивается с толку и становится невыносимым, ибо правильно работает лишь на основе четко сформулированных правил (Б. Паскаль, Мысли).
Быть может, прежде губ уже родился шепот, И в бездревесности кружилися листы, И те, кому мы посвящаем опыт, До опыта приобрели черты. (О. Мандельштам)
Существуют истины, слишком высокие для того, чтобы быть выраженными не только в числах, но и в словах (отождествление слова и Слова - Бога в приведенном в предыдущем разделе стихотворении Гумилева, разумеется, приходится рассматривать как поэтическую вольность). Они могут быть (если могут) выражены лишь в образах - не рассказаны, а показаны. В этом едины как древние тексты:
Истина не пришла в мир обнаженной, но она пришла в символах и образах. Он не получит ее по-другому. Есть возрождение и образ возрождения. Следует воистину возродить их через образ. Каково воскресение? И образ через образ следует, чтобы он воскрес. Брачный чертог и образ через образ - следует, чтобы они вошли в истину, которая - восстановление. Это следует тем, которые не только приобретают имя Отца, и Сына, и Духа святого, но приобретают их для самих себя. Если некто не приобрел их для себя, имя также будет отнято у него (Евангелие от Филиппа 67),
так и один из наиболее влиятельных философов XX века:
6.521. Решение жизненной проблемы мы замечаем по исчезновению этой проблемы. (Не потому ли те, кому после долгих сомнений стал ясен смысл жизни, все же не в состоянии сказать, в чем состоит этот смысл).
6.522. В самом деле, существует невысказываемое. Оно показывает себя, это - мистическое (Л. Витгенштейн, Логико-философский трактат).
В то же время,
Когда есть образ, есть и заблуждение. Если же смотреть на это с точки зрения образа, который не есть образ, то тогда и распознаешь Так Приходящего (Алмазная сутра).
Образное и символическое мышление и интуиция, вопреки распространенному среди гуманитариев мнению, играют большую роль в научном творчестве, особенно если оно происходит на достаточно высоком уровне:
Он стал поэтом, для математики у него было слишком мало воображения (Д.Гильберт об одном из своих бывших учеников).
Впрочем, часто процесс научного творчества остается "за кадром". Такая ситуация может возникать даже в работе физиков-экспериментаторов.
Экспериментальные исследования, которыми Ампер установил законы механического взаимодействия между электрическими токами, являются одним из наиболее блестящих достижений науки. Все в совокупности, и теория и эксперимент, как будто появились в полной зрелости и в полном вооружении из головы "Ньютона электричества". Эти исследования закончены по форме, идеальны по точности и резюмированы в формуле... Метод Ампера, однако, хотя и изложен в индуктивной форме, не позволяет нам проследить процесс образования и развития идей, которыми он руководствовался. Мы с трудом можем поверить, что Ампер в действительности открыл закон взаимодействия при помощи описываемых им экспериментов. Мы вынуждены подозревать, в чем, впрочем, признается сам Ампер, что закон открыт им при помощи некоего процесса, который он нам не показывает... Фарадей, напротив, показывает нам свои как неудачные, так и удачные эксперименты, как свои несозревшие идеи, так и идеи разработанные... Поэтому каждому изучающему следовало бы читать исследования Ампера как блестящий образец научного стиля при изложении открытия, но ему следовало бы также изучать Фарадея для воспитания научного духа на той борьбе противоречий, которая возникает между новыми фактами, излагаемыми Фарадеем, и идеями, рождающимися в его собственном мозгу (Дж.К. Максвелл, Трактат об электричестве и магнетизме).
Соотношение образного (интуитивного) мышления и логики можно проиллюстрировать на примере истории открытия уравнений электромагнитного поля самим Максвеллом. При их "выводе" для описания электромагнитных явлений в среде-эфире он пользовался очень сложными механическими аналогиями (например, зацепляющиеся шестеренки), которые впоследствии оказались ненужными подобно строительным лесам.
Рассуждения и вычисления, которыми многократно силится подтвердить их [свои уравнения] Максвелл, кишат противоречиями, темными местами и очевидными ошибками (П. Дюгем, цит. по П. Флоренскому, с.115).
В конечном счете, по словам Герца, теория Максвелла есть система уравнений Максвелла. Эстетическая сторона проблемы иллюстрируется высказыванием Макса фон Лауэ:
Понимание того, как сложнейшие разнообразные явления математически сводятся к таким простым и гармонически прекрасным уравнениям Максвелла, является одним из сильнейших переживаний, доступных человеку (Статьи и речи, М., 1969, с.12).
Проблема образов при познании Бога в христианстве, в частности, различие католического и православного подхода к духовной практике, обсуждается в гл.5.
Твердо держите в душах ваших, что вы не видели никакого образа в тот день, когда говорил к вам Господь на [горе] Хориве из среды огня, дабы вы не развратились и не сделали себе изваяний, изображений какого-либо кумира, представляющих мужчину или женщину, изображения какого-либо скота, который на земле, изображения какой-либо птицы крылатой, которая летает под небесами, изображения какого-либо [гада,] ползающего по земле, изображения какой-либо рыбы, которая в водах ниже земли; и дабы ты, взглянув на небо и увидев солнце, луну и звезды [и] все воинство небесное, не прельстился и не поклонился им и не служил им, так как Господь, Бог твой, уделил их всем народам под всем небом (Второзаконие 4:15-19).
Особенно роль символа подчеркивает православная традиция (например, для нее характерна развитая символика богослужения).
Символическое созерцание умопостигаемого посредством зримого есть одновременно и духовное ведение и умозрение видимого через невидимое (Максим Исповедник, Мистагогия, ср. Рим.1:20).
Здесь мы подходим к общему представлению о символе, которое играет огромную роль не только в религии, но и во всех отраслях человеческого восприятия, поскольку позволяет сделать его "многомерным".
В противоположность схеме и аллегории тут [в символе] мы находим полное равновесие между "внутренним" и "внешним", идеей и образом, "идеальным" и "реальным"... Символ есть самостоятельная действительность. Хотя это и есть встреча двух планов бытия, но они даны уже в полной, абсолютной неразличимости, так что уже нельзя указать, где "идея" и где "вещь" (А.Ф. Лосев, Диалектика мифа).
Развитой символической системой, часто использовавшейся в средневековье, была алхимия. Алхимические символы часто встречаются в научных трактатах и личной переписке ученых того времени. Зашифрованные символами сообщения имели целью не столько сохранить приоритет, сколько выразить невыразимое (без снижения уровня) более простыми средствами. Впрочем, проблемы понимания алхимических текстов, смысл которых практически полностью утерян для нас, возникали и у современников:
Несмотря даже на то, что поглощал их писания одно за другим, бессменно склоняясь снова и снова над трудами мудрецов, я не нашел в них сути того, что сии мудрецы провозглашали в своих сочинениях. Я изучал алхимические книги двояко, стараясь уразуметь в них и то, что говорит в пользу мужей, их написавших, и то, что говорит против них, но установил, что эти книги никчемны, бессмысленны и бесполезны (Альберт Великий, Малый алхимический свод).
К.Г. Юнг посвятил ряд своих работ (Психология и алхимия, Aion, Mysterium Coniunctionis, Дух Меркурий и др.) психологической интерпретации алхимической символики. По его мнению, она выражает свойственные человеческой психике архетипы, т.е. фундаментальные представления, принадлежащие сфере "коллективного бессознательного":
Поскольку алхимики, за исключением очень немногих, не знали, что они вытащили на свет божий психические структуры, а думали, что объясняют трансформации материи, то никакие психологические соображения, проистекающие из чувствительности натуры, не могли удержать их от того, чтобы не обнажать основы души, что более осведомленный человек побоялся бы сделать. Именно поэтому алхимия так неотразимо привлекательна для психолога... Какими бы странными и невразумительными не казались непосвященным используемые алхимиками язык и образы, они становятся ясными и живыми, как только сравнительное исследование обнаруживает связь между символами и процессами в бессознательном (Mysterium Coniunctionis, с. 13).
Более подробное обсуждение связей между современной наукой и алхимией, герметизмом и пифагорейской философией приведено в главе 4.
Дух европейской науки до сих пор несет на себе печать всех этих факторов - переход от языка каббалы и алхимии к более простому языку математики, который произошел достаточно поздно, с этой точки зрения не принципиален. С точки зрения психологии, современная математическая символика отличается прежде всего меньшей эмоциональной насыщенностью.
До тех пор, пока именно заклинания связывают материальный мир неба и земли воедино, астрология и магия не могут стать астрономией и техникой. Любая арифметическая задача оставалась религиозной обязанностью, с ликованием выполняемой жрецами во время соответствующих церемоний... Сегодня мы констатируем, что 2 и 2 равняется 4, не повышая голоса. Сущность математической символики и заключается в том факте, что во время установления математических истин голос не повышается. Фигуры, кривые, треугольники и задуманы так, чтобы быть понятыми без всяких эмоций... Но это великое новшество. Никогда прежде язык не использовался без сильнейшего возбуждения. Шаман говорил с пеной у рта. Жрецы в храмах лежали в изнеможении (О. Розеншток-Хюсси, Бог заставляет нас говорить, с. 183).
С другой стороны, алхимики, как показывают исследования Юнга, играли с чрезвычайно мощными и опасными символами, коренящимися в глубинах бессознательного. Поиск Философского Камня был буквально вопросом жизни и смерти:
- Не следует молиться о Камне, если не знаешь, что он означает.
- Камень означает истину! - откликаюсь я.
- Истина? - усмехается рабби точно так же, как император...
- Что же в таком случае означает Камень? - неуверенно допытываюсь я.
- Ответ на этот вопрос ... нельзя получить извне, он может прийти только изнутри!
- Да, конечно, я понимаю: Камень находят в сокровенных глубинах собственного Я. Но... потом-то он должен быть приготовлен, явлен вовне, и тогда, когда он произведен на свет, имя ему - эликсир.
- Внимание, сын мой, - шепчет рабби... - Будь осторожен, когда молишься о ниспослании Камня! Все внимание на стрелу, цель и выстрел! Как бы тебе не получить камень вместо Камня: бесцельный труд за бесцельный выстрел! Молитва может обернуться непоправимым (Г. Майринк, Ангел Западного окна).
Математическая символика более "нейтральна" и вероятно именно это позволило ей стать "общезначимой". Общераспространенность математической символики и ее максимальная "независимость от культуры" по-видимому свидетельствует, что базовые понятия (архетипы) числа, континуума и т. д. действительно являются эмоционально нейтральными. Возможно, они целиком принадлежат к высшим этажам человеческой психики (то, что по картографии сознания С. Грофа связано с трансперсональным уровнем) и в минимальной степени "зацеплены" за низшие слои (секс, агрессия...). Впрочем,
Стиль любой зарождающейся математики полностью зависит от той культуры, в котрой она возникает, от особенностей народа, над ней размышляющего (О. Шпенглер, Закат Европы. О смысле чисел).
В связи с переходом от средневековой науки, базирующейся на астрологии и алхимии, к современной математике, следует упомянуть переплетение "магического" и естественнонаучного языка в трудах врача, математика и астролога Дж. Кардано (1501-1576), описавшего свое решение кубического уравнения в сочинении Ars magna (великое искусство). Его биография напоминает авантюрный роман, а творческая деятельность полностью определялась влиянием мистического опыта. Современный английский математик Р. Пенроуз (см. список литературы) в особенности подчеркивает заслуги Кардано как одного из создателей теории вероятности, а также как математика, впервые использовавшего комплексные числа. Кроме того, начиная с Кардано можно проследить ту линию, которая в конце концов, через работы Абеля и Галуа о разрешимости алгебраических уравнений, привела к появлению современной теории групп, играющей столь большую роль в квантовой физике.
Галилей в "Диалоге о двух системах мира" (см. Избранные труды, М., 1964) объявляет тайны пифагорейских чисел баснями. Однако его кардинальная идея о тайнах природы, записанных на языке математики (см. цитату в начале главы) по происхождению несомненно восходит к пифагорейской традиции. С этого времени, математическая символика почти полностью вытесняет каббалистическую, алхимическую и другие "средневековые" символические системы. Успехи ньютоновской теории тяготения, прежде всего, вывод законов Кеплера (см. гл. 4), закрепили положение математики как "царицы наук" (известное выражение К. Гаусса). Созданный трудами И. Ньютона, Г. Лейбница, И. Барроу, Х. Гюйгенса и других ученых XVII века математический анализ оказался исключительно эффективным средством решения самых разных задач. На протяжении XVIII века огромное количество важных результатов было получено Л. Эйлером, Ж. Лагранжем, П. Лапласом и многими другими математиками, механиками и астрономами.
Несмотря на "прикладное" значение математики, в настоящее время она представляет собой самостоятельную науку с собственными объектами исследования и эстетическими критериями. Начиная с XIX века, центр тяжести в развитии математики постепенно смещается в сторону более четкого анализа используемых понятий, роста строгости и развития "культуры" математического доказательства. Этот процесс сопровождается некоторыми издержками:
Математика наших дней походит на крупный оружейный магазин мирного времени. Его витрина заполнена роскошными вещами, которые своим остроумным, искусным, пленяющим глаз исполнением восхищают знатока, а подлинные истоки и назначение этих вещей, их способность поражать врага отходят в сознании на задний план вплоть до полного забвения (Ф. Клейн, Лекции о развитии математики в XIX столетии, т.1, М., Наука, 1989, с.86).
На достаточно большом удалении от своего эмпирического источника и тем более во втором и третьем поколении, когда математическая дисциплина лишь косвенно черпает вдохновение из идей, идущих от реальности, над ней нависает смертельная опасность. Ее развитие все более и более определяется чисто эстетическими соображениями; она все более и более становится искусством для искусства... Я убежден, что "эмпирическая" подпитка была необходимым условием сохранения неувядаемой молодости и жизнеспособности математики в прошлом и что аналогичное утверждение останется в силе и в будущем (Дж. фон Нейман, цит. по: М. Клайн, Математика. Утрата определенности, с.338).
Вместе с тем, математика продолжает сохранять свою "непостижимую эффективность в естественных науках", давшую название знаменитой статье Е. Вигнера:
Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов. Это чудесный дар, которого мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остается лишь благодарит за него судьбу и надеяться, что в своих будущих исследованиях мы сможем по-прежнему пользоваться им (Е. Вигнер, Этюды о симметрии, с. 197).
Рискуя несколько шокировать "сциентистски" настроенного читателя, можно тем не менее отметить очевидную аналогию между верой современного ученого в "непостижимую эффективность математики" и верой человека традиционного общества в магию чисел. Примеры такой эффективности дествительно многочисленны и впечатляющи. Можно указать, например, на основное уравнение, описывающее свойства электрона - уравнение Дирака. Оно было установлено Дираком в 1927 г. из соображений "математического изящества" и не только прекрасно описало все известные к тому времени свойства электрона, но и привело к предсказанию существования античастицы электрона - позитрона, впоследствии подтвержденному экспериментально. Еще более ярким примером является общая теория относительности (современная теория тяготения), созданная Эйнштейном в 1915 г. как достаточно формальная математическая конструкция почти без всякой экспериментальной основы и блестяще подтвержденная всеми последующими экспериментами и астрономическими наблюдениями. Однако, если мы захотим понять эти успехи, это может оказаться делом не более простым, чем объяснить, каким образом пересчет девушек (см. выше цитату из Фрэзера) может повредить их здоровью. "Самое непостижимое в мире - то, что он постижим" (А. Эйнштейн), причем зачастую - постижим на математическом языке. Следующий отрывок дает описание "мистического опыта", связанного с чистой математикой.
В математике, дополненной философией и психологией, я нашел то, что обычно дает человеку религия. Я осознал в этом присутствие реальности в форме необычайной чистоты, и предел внутреннего проникновения, которого я тогда достиг, хотя мне и недоставало соответствующего понимания и различения, не был превзойден с тех пор никогда, вплоть до седьмого числа прошлого месяца... То, чего я достиг благодаря математике на языке символов - а это был редкий уровень сознания, - должна была дополнить философия, так чтобы это могло стать ясным для понимания. Философия добавила способность размышления и сосредоточения к чистому свету математики (Ф. Меррелл-Вольф, Пути в иные измерения, с.145-146).
Вспомним также, что Эйнштейн в детстве воспринял "Начала" Евклида как "священную книгу по геометрии".
Ряд крупных исследователей, пытающихся всерьез понять статус математических понятий и причину их эффективности, склоняется к тому или иному варианту платонизма. Так, выдающийся английский ученый - специалист в области математической физики Р. Пенроуз посвятил значительную часть своих книг "Новый разум императора" и "Тени разума" (см. список литературы) аргументации в пользу реального существования мира математических идей. Математические понятия, выражающие "гармонию" мира, вечны и неуничтожимы подобно платоновским идеям:
В настроенной лире гармония - это нечто невидимое, бестелесное, прекрасное и божественное, а сама лира и струны - тела, то есть нечто телесное, сложное, земное и сродное смертному. Представь себе теперь, что лиру разбили или же порезали и порвали струны, - приводя те же доводы, какие приводишь ты, кто-нибудь будет упорно доказывать, что гармония не разрушилась и должна по-прежнему существовать. Быть того не может, скажет такой человек, чтобы лира с разорванными струнами и сами струны - вещи смертной природы - все еще существовали, а гармония, сродная и близкая божественному и бессмертному, погибла, уничтожилась раньше, чем смертное. Нет, гармония непременно должна существовать, и прежде истлеют без остатка дерево и жилы струн, чем потерпит что-нибудь худое гармония (Платон, Федон; см. также вынесенные в эпиграф строки Мандельштама).
Близких взглядов на сущность математических идей и понятий придерживался В. Гейзенберг (см. книгу "Физика и философия. Часть и целое"). Другой выдающийся физик, В. Паули, полагал, что более правильным образом для того, чтобы охарактеризовать статус математических понятий, являются юнговские архетипы. В отличие от платоновских идей, они имеют динамический характер и не могут рассматриваться как вечные и неизменные, однако также принадлежат к некоторой реальности за пределами индивидуальных сознаний (см. книгу К. Лаурикайнена). Высокую оценку математики можно найти и в оккультной литературе.
Главный Источник чистой математики - Высшее, или Трансцендентное Сознание, и в этом причина, почему выводы всеобщего характера можно недвусмысленно передать на языке чистой математики... В определенном смысле, чистая математика далеко опередила сейчас то Сознание, которое реально возможно для человека (Ф. Меррелл-Вольф, Пути в иные измерения, с.280, 293).
В средние века вопрос об универсалиях (идеальных, общих понятиях) обсуждался в бурных и долгих спорах схоластов - реалистов и номиналистов: первые отстаивали их реальное (онтологическое) существование, а последние признавали их только в мышлении (как имена, символы единичных сущностей). Эти споры так ни к чему и не привели, а крайние точки зрения были осуждены церковью (особенно в связи с догматами о причастии и св. Троицей). Взгляды на математику Пенроуза и его единомышленников могут быть сопоставлены со средневековым реализмом.
"Номиналистский" подход в вопросе об основаниях математики состоит в предположении, что математические понятия являются результатом обобщения и абстрагирования свойств реального физического мира. Логически возможен и "субъективно-идеалистический" подход, рассматривающий математические конструкции как произвольные творения человеческого ума, однако в этом случае вопрос о причинах "непостижимой эффективности" математики по-видимому не может быть даже разумно сформулирован. Как и вообще в современной науке, наиболее распространен сейчас по-видимому "позитивистский" подход, когда вопросы о мировоззренческом статусе используемых понятий и методов считаются ненаучными и бессмысленными. Применительно к математике, такой подход состоит в рассмотрении математических теорий как некоторых формальных конструкций:
В этом смысле математика рассматривает отношения в гипотетически-дедуктивном плане, не связывая себя никакой конкретной материальной интерпретацией. Ее интересует не истинность аксиом, а лишь их непротиворечивость... "Математика - это наука, извлекающая определенные следствия" - сказал Б. Пирс в 1870 г., и это определение оставалось в моде на протяжении нескольких десятилетий. Мне кажется, что оно содержит весьма скудную информацию относительно подлинной природы математики... (Г. Вейль, Математическое мышление, М.: Наука, 1989, с. 21).
К подобным формалистическим подходам относится прежде всего аксиоматический метод, который пропагандировался и развивался на рубеже XIX и XX веков выдающимся немецким математиком Д. Гильбертом. Известно его шутливое (?) высказывание, что при изложении евклидовой геометрии можно везде заменить слова "точки", "прямые" и "плоскости" на "столы", "стулья" и "пивные кружки" (через два стола можно провести стул, и притом только один замечательно!). В широко известном списке "проблем Гильберта" присутствовала даже проблема аксиоматизации физики. Аналогичный подход развивался Расселом и Уайтхедом по отношению к самой математике. По словам Б.Рассела,
Тот факт, что вся математика есть символическая логика, является одним из величайших открытий нашего времени (Принципы математики).
Такой подход сразу после своего возникновения вызвал резкие возражения ряда крупнейших математиков, прежде всего, А. Пуанкаре:
Настоящее математическое рассуждение есть настоящая индукция, во многих отношениях отличная от индукции физической, но, как и она, идущая от частного к общему. Все усилия, направленные на то, чтобы опрокинуть этот порядок и свести математическую индукцию к правилам логики, закончились без успеха, и эту неудачу трудно скрыть под маской особого языка, недоступного профанам (А. Пуанкаре, О науке, с.402,403).
Будущее развитие математики и логики действительно показало недостаточность гильбертовского подхода даже в пределах математики (не говоря уже об "аксиоматизации физики", см. гл.6). Мы имеем в виду прежде всего знаменитую теорему Геделя, согласно которой даже в арифметике натуральных чисел существуют утверждения, неопровержимые и недоказуемые на основе любого конечного набора аксиом. (Приведенная здесь формулировка не вполне точна и нуждается в многочисленных пояснениях; см., например, упомянутые выше книги Р. Пенроуза или популярно написанную брошюру В.А. Успенского "Теорема Геделя о неполноте", М., Наука, 1982; более систематическое изложение можно найти, например, в учебнике С. Клини "Математическая логика", М., Мир, 1973). Близкое (и в действительности эквивалентное) утверждение состоит в существовании алгоритмически неразрешимых задач, то есть таких задач, которые в принципе не могут быть решены никаким компьютером, действующим на основе фиксированного набора правил. (Известно много конкретных примеров таких задач; скажем, не существует общего способа определить, можно или нельзя вымостить всю плоскость без зазоров, используя только многоугольные плитки из заданного конечного набора). Тем самым, математика неизбежно должна быть содержательной и "человеческой" (или, согласно платонистским взглядам, сверхчеловеческой), но ни в коем случае не "компьютерной", то есть бездумно выводимой из фиксированного набора правил:
Вы [сторонники взглядов Рассела и Гильберта] даете нам не крылья, а детские помочи. Но тогда мы имеем право требовать, чтобы эти помочи не давали нам падать. В такой помощи - единственное их оправдание. Если ценное имущество не приносит крупных доходов, то нужно по крайней мере, чтобы оно было в надежных руках. Нужно ли следовать вашим правилам слепо? Конечно, да, иначе нам могла бы помочь разобраться в них одна только интуиция. Но в таком случае необходимо, чтобы эти правила были непогрешимы; слепое доверие можно питать только к непогрешимому авторитету. Для вас это необходимость. Вы должны быть непогрешимы, или вас не будет (А. Пуанкаре, О науке, с.390).
Различие подходов и мировоззрений в вопросе об основаниях математики особенно ярко проявляется при рассмотрении проблем, связанных с идеей бесконечности. "Стандартная" математика XX века базируется на теории множеств, разработанной в XIX веке Г. Кантором (а говоря более технически на так называемой системе аксиом Цермело-Френкеля). Согласно Кантору, существуют разные степени (мощности) бесконечности: бесконечность счетных множеств, таких, как ряд натуральных чисел, бесконечность континуума, например, отрезка единичной длины (ту же мощность имеют множества точек ограниченных и неограниченных тел в пространстве любой размерности), и бесконечности более высокого порядка. Последние могут быть получены как множество всех подмножеств исходного бесконечного множества.
Линия состоит из множества точек, плоскость - из бесконечного множества линий; книга - из бесконечного множества плоскостей; сверхкнига - из бесконечного множества книг (Х.Л. Борхес, Книга песка).
Эти идеи имеют большое психологическое значение.
...После того, как наше переживание становится реальным процессом в реальном мире, а наше феноменологическое время простирается, как нечто космическое, на весь мир, мы все-таки подменяем континуум точным понятием действительного числа, вопреки существенной неточности, неустранимой из того, что нам надо... Во всем этом не просто проявляется какая-то насильственная систематизация или стремление к простоте мысли, вызванное нашими практическими задачами и целями: в действие вступает подлинный разум, раскрывающий присущий действительности "логос"... Конечно, наглядно созерцаемый и математический континуум не совпадают; между ними зияет пропасть. Тем не менее, существуют разумные мотивы, побуждающие нас стремиться к тому, чтобы от одного перейти к другому, - столь же разумные, как и те, которые заставляют при исследовании природы стремиться проникнуть "за" пределы той реальности, которая основывается на актах опыта... - к стоящему за чувственными данными "подлинно объективному", бескачественному физическому миру. (Г. Вейль, Математическое мышление, с. 159).
Теория множеств Кантора очень далеко ("бесконечно далеко") выходит за рамки чувственного опыта. Вообще говоря, никакие суждения относительно бесконечных множеств не могут быть эмпирически проверяемы:
Всякая теорема математики должна быть доступна проверке. Когда я высказываю эту теорему, я утверждаю, что все проверки, которые я испробую, приведут к желаемому результату, и даже если одна из этих проверок требует труда, превосходящего человеческие силы, я утверждаю, что если много поколений сочтут нужным заняться этой проверкой, то и в этом случае она удастся. Теорема не имеет другого смысла; это остается верным и тогда, когда в ее формулировке говорится о бесконечных числах; но так как все проверки могут быть проведены только для конечных чисел, то отсюда следует, что всякая теорема, относящаяся к бесконечным числам или вообще к тому, что называется бесконечным множеством... не может быть ничем иным, как сокращенным способом формулирования предложений, относящихся к конечным числам (А. Пуанкаре, О науке, с. 466).
Большие сомнения у многих математиков вызывала, например, аксиома выбора Цермело (если имеется любой набор - конечный или бесконечный множеств, то всегда можно образовать новое множество, выбрав по одному элементу из каждого множества, входящего в набор). С ее использованием доказываются весьма странные утверждения, скажем, теорема Банаха - Тарского. Согласно этой теореме, любое выпуклое тело можно разрезать на конечное число кусков таким образом, что, переставив их, мы получим выпуклое тело любого другого размера. Очевидно, что мир, описываемый аксиоматикой Цермело-Френкеля не может быть нашим физическим миром, где ничего подобного сделать нельзя. С другой стороны, отказ от аксиомы выбора существенно обедняет классическую математику. Возможно, правильный выход из этого тупика (согласно Пенроузу) состоит в допущении, что канторова теория множеств описывает платоновский мир математических идей, некоторые из которых имеют соответствие в нашем физическом мире. Ясно, однако, что слишком для многих математиков такой вывод окажется философски неприемлемым.
В то же время, канторова теория по-видимому не противоречит структуре человеческого мышления. Можно думать, что понятие континуума как некоторой первичной сущности, не сводимой к счетным множествам, действительно присуще человеческой психике. Каждый человек обладает, вероятно, зачатками топологического мышления, основанного на идее непрерывности. Г. Вейль говорил (Математическое мышление, с. 24-41) об абстрактной алгебре и топологии как двух альтернативных способах математического мышления (по выражению Вейля, за душу каждого математика борются ангел топологии и бес абстрактной алгебры). На уровне физиологии различные виды мышления связываются с полушариями человеческого мозга (правополушарное мышление непрерывное, образы, топология, левополушарное мышление - логическое, символы, буквы, слова, дискретное, алгебра). Ф. Меррелл-Вольф (в книге "Математика, философия и йога") связывает "обычное" двойственное сознание с дискретным пространством, а "просветленное" недвойственное сознание - с непрерывным пространством, используя также аналогию с канторовой теорией множеств.
Интересно сопоставить два главных типа математического мышления с психологической классификацией личностей (см. книгу К.Г. Юнга "Психологические типы" или труды по модной сейчас науке - соционике, напр., Е. Филатова, Соционика для вас, Новосибирск, 1994). Для это нужно принять во внимание, что в соответствии с данными психологических исследований пространство в восприятии человека обычно ассоциируется с непрерывной средой (символика воды, моря и т.д., см. главу 11), а восприятие времени дискретно (см. главу 15). В соционике восприятие преимущественно пространственных или временных отношений связывают с сенсорным или интуитивным типом личности, соответственно. Можно предположить наличие некоторых корреляций между этим делением и делением математиков на "геометров" и "алгебраистов" (на такую мысль наводят, в частности, интересные психологические наблюдения в книге Р. Пенроуза "Новый разум императора", однако вопрос нуждается в дальнейших исследованиях). Между прочим, в соционике для характеристики различных типов личности и межличностных взаимодействий широко используется геометрическая символика. Хотя подобное использование математики выглядит несколько бедным и искусственным по сравнению с ее применением в естественных науках, оно лишний раз подчеркивает психологическую нагрузку математических символов.
До некоторой степени противопоставление "счетного" мышления, основанного на понятии (натурального) числа, и топологического мышления, основанного на понятии непрерывности, соответствует различию количественного и качественного подходов. Современная математика является не только количественной, но и все больше развивает методы качественного анализа. Здесь уместно привести слова Руми:
Вы принадлежите к миру измерений, но пришли вы оттуда, где нет никаких измерений. Закройте первую лавку, пора открывать вторую.
Как мы отмечали выше, речь здесь идет о топологии, качественно исследующей свойства пространств и многообразий. С ней связаны такие дисциплины, как созданная Пуанкаре качественная теория дифференциальных уравнений, теория бифуркаций и теория особенностей гладких отображений; приложение этих теорий к широкому кругу естественнонаучных и даже социальных проблем получило известность под названием теории катастроф. Качественная сторона математики подчеркивается и в известном высказывании А. Пуанкаре:
Математика - это искусство называть разные вещи одинаковыми именами.
Слово "имена" (возможно, употребленное бессознательно) подчеркивает связь математики с определенной символической системой. "Символическая" основа естественных наук обсуждается в работах П.Флоренского.
Совокупные усилия [физиков и философов - Маха, Авенариуса, Гельмгольца...] утвердили общество в мысли, что действительно физическая теория есть не более как символическое описание, упрощенное и упорядоченное описание, хотя, кстати сказать, доныне еще не стало ясным, чего именно описание есть физика...
Метод познания природы, по Герцу, заключается в следующем: "... Мы создаем себе внутренние образы или символы внешних предметов и создаем мы их такими, чтобы логически необходимые последствия таких образов были всегда образами естественно необходимых изображаемых в них предметов" (П.Флоренский, Наука как символическое описание).
По словам В.Паули (см. K.V. Laurikainen, р.59), реальность символична по самой своей природе (в том смысле, как использовал слово "символ" Юнг). При этом, как отмечалось выше, математические символы скорее всего связаны с высшими (трансперсональными) уровнями человеческой психики. По-видимому, в этом ключе можно трактовать на языке современной психологии обсуждавшиеся выше "платонистские" представления о существовании особого "божественного" мира математических идей. Правда, юнговское понятие архетипа не вполне соответствует платоновскому представлению об идее: "платоновская идея статична, архетип является динамическим" (см. Laurikainen, цит. соч.). Более общий взгляд на архетип и его проникновение в мир обсуждается в рассказе Борхеса о дворце монгольского императора Кубла Хана.
Во сне Колриджа случайно прочитанный текст стал разрастаться и умножаться; спящему человеку грезились вереницы зрительных образов и даже попросту слов, их описывающих; через несколько часов он проснулся с убеждением, что сочинил - или воспринял - поэму примерно в триста строк... Первому сновидцу было послано ночью видение дворца, и он его построил; второму, который не знал о сне первого, - поэма о дворце. Если эта схема верна, то в какую-то ночь, от которой нас отделяют века, некоему читателю "Кубла Хана" привидится во сне статуя или музыка... и, быть может, этому ряду снов не будет конца, а ключ к ним окажется в последнем из них... Возможно, что еще неизвестный людям архетип, некий вечный объект (в терминологии Уайтхеда) постепенно входит в мир; первым его проявлением был дворец, вторым - поэма. Если бы кто-то попытался их сравнить, он, возможно, увидел бы, что по сути они тождественны (Сон Колриджа).
Говоря иными словами, платоновские идеи (по крайней мере, в том виде, как их понимает Пенроуз) рассматриваются как некоторые вечные сущности, не зависящие от человеческого сознания. С точки же зрения современных психологических подходов (аналитическая и трансперсональная психология и т.д.), общие понятия (идеи, архетипы) скорее должны рассматриваться как возникающие при взаимодействии индивидуального сознания с морем бессознательного. Соответствующая символика подробно рассматривается в главе 12. Тогда математические понятия есть некоторые образы, "высвечиваемые" индивидуальным сознанием в этом море. Тем самым, эти образы зависят как от сверхиндивидуальной (трансперсональной) реальности, так и от свойств человеческого ума. При таком подходе "некомпьютерная" часть математики (в том числе все, связанное с существенным использованием понятий континуума и актуальной бесконечности) оказывается разновидностью мистического опыта.
Можно соглашаться с этими представлениями или нет, но любое честное размышление о статусе математических понятий должно давать какой-то ответ на вопрос о причинах эффективности математики при описании свойств физической Вселенной. Насколько нам известно, до сих пор никому не удалось дать удовлетворительное объяснение этому чуду (без кавычек!) в рамках материалистического подхода ("теория отражения" В.И. Ленина). Позитивистский же отказ от объяснений вряд ли способен по-настоящему удовлетворить мыслящего человека. Закончим эту главу характерной цитатой, выражающей мнение одного из крупнейших математиков и философов начала Нового времени и, в то же время, мнение выдающегося философа - нашего современника:
Декарту неоднократно приходилось отвечать на следующий вопрос: может ли атеист быть математиком? Математиком, уверенным в точности и правильности своих доказательств, и он упорно каждый раз отвечал: не может! (М. Мамардашвили, Картезианские размышления, с.52)
